2023年山东省潍坊市中考数学三模试卷+

这是一份2023年山东省潍坊市中考数学三模试卷+，共32页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省潍坊市中考数学三模试卷
一、单项选择题（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，多选、不选、错选均记0分.）
1．下列计算结果正确的是（　　）
A．7a﹣5a＝2 B．9a÷3a＝3a C．a5÷a3＝a2 D．（3a2）3＝9a6
2．星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度1纳秒＝1×10﹣9秒，那么20纳秒用科学记数法表示为（　　）
A．2×10﹣8秒 B．2×10﹣9秒 C．20×10﹣9秒 D．2×10﹣10秒
3．如图1是由6个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体，则移动前后（　　）

A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图改变
C．主视图不变，俯视图不变
D．主视图改变，俯视图不变
4．把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
6．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得，则n的取值不可能为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
7．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．1
8．疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（　　）
体温℃
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
人数/人
4
8
8
10
m
2

A．这个班有40名学生
B．m＝8
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是
​（　　）

A．abc＞0 B．a+b+c＞0 C．3b＜2c D．b＞a+c
（多选）10．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论正确的是​（　　）

A．∠AGD＝112.5° B．
C．S△AGD＝2S△OGD D．四边形AEFG是菱形
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11．分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝　 　．
12．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是　 　．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 　 　．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为 　 　．
​

四、解答题（本题共8小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）计算：；
（2）解不等式组：
16．如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边AB和∠B还保留着．
​（1）小明要在练习册上画出原来的等腰△ABC，用到的基本作图可以是 　 　（填写正确答案的序号）；
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；
（2）CE为△ABC边AB上的中线，若∠B的一个外角为110°，求∠BCD的度数．

17．为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：

（1）求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图．
（2）若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数．
（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率．
18．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．
（1）求BC的长；（结果保留根号）
（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）


19．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在y＝a|x﹣1|+b中，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
7
m
3
1
n
1
3
…
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（3）根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1． 　 　（判断对错）
②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小． 　 　（判断对错）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1． 　 　（判断对错）
（4）若方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是 　 　．

20．振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形EFGH，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料
甲
乙
单价（元/米2）
800
600
​
设矩形的较短边AM的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．
21．【定义】
从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．

【应用】
（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为 　 　；
（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；
【拓展应用】
（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．
22．如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．
观察发现：
（1）如图1，当A，B两点均在直线l的上方时
①猜测线段AD，CE与BE的数量关系并说理由；
②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD＝3，AD＝9，请直接写出DH的长度．



参考答案
一、单项选择题（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，多选、不选、错选均记0分.）
1．下列计算结果正确的是（　　）
A．7a﹣5a＝2 B．9a÷3a＝3a C．a5÷a3＝a2 D．（3a2）3＝9a6
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的除法可以判断B；根据同底数幂的除法可以判断C；根据积的乘方可以判断D．
解：7a﹣5a＝2a，故选项A错误，不符合题意；
9a÷3a＝3，故选项B错误，不符合题意；
a5÷a3＝a2，故选项C正确，符合题意；
（3a2）3＝27a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用．“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度1纳秒＝1×10﹣9秒，那么20纳秒用科学记数法表示为（　　）
A．2×10﹣8秒 B．2×10﹣9秒 C．20×10﹣9秒 D．2×10﹣10秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：用科学记数法表示20纳秒为20×1×10﹣9秒＝2×10﹣8秒．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．如图1是由6个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体，则移动前后（　　）

A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图改变
C．主视图不变，俯视图不变
D．主视图改变，俯视图不变
【分析】分别得到将正方体变化前后的三视图，依此即可作出判断．
解：正方体移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体移走后的主视图正方形的个数为1，2，1；不发生改变．
正方体移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体移走后的左视图正方形的个数为2，1；发生改变．
正方体移走前的俯视图正方形的个数为3，1，1；正方体移走后的俯视图正方形的个数为：2，1，2；发生改变．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
4．把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论．
解：如图，

∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出∠3．
5．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
6．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得，则n的取值不可能为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．
解：设＝k，
则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）也都在函数y＝kx的图象上，
即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，
由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
7．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．1
【分析】先根据数轴得出a的取值范围，结合题意得出b的取值范围，从答案中筛选即可．
解：﹣a＜b＜a，
∴|b|＜a，
又∵1＜a＜2，
所以b可以是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴，需要充分运用数形结合的思想方法．
8．疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表．下列说法不正确的是（　　）
体温℃
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
人数/人
4
8
8
10
m
2

A．这个班有40名学生
B．m＝8
C．这些体温的众数是8
D．这些体温的中位数是36.35
【分析】根据扇形统计图可知：36.1℃所在扇形圆心角为36°，由此可得36.1℃在总体中所占的百分比；再结合36.1℃的频数，就可求出学生总数，进而可求出x的值；然后根据众数和中位数的定义就可解决问题．
解：由扇形统计图可知，体温为36.1°C的学生人数所占百分比为＝10%，
故这个班有学生＝40（名），
所以m＝40﹣4﹣8﹣8﹣10﹣2＝8，
故选项A、B不符合题意；
这些体温的众数是36.4，故选项C符合题意；
这些体温的中位数是＝36.35，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查表格与扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是利用圆心角度数与项目所占百分比的关系求总人数．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是
​（　　）

A．abc＞0 B．a+b+c＞0 C．3b＜2c D．b＞a+c
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解．
解：A、由图象得：﹣＝1，a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，
故A正确，符合题意；
B、由图象可知，当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故B错误，不合题意；
C、∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵a＝﹣，
∴c＝b，即3b＝2c，
故C错误，不合题意；
D、∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，
故D错误，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
（多选）10．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论正确的是​（　　）

A．∠AGD＝112.5° B．
C．S△AGD＝2S△OGD D．四边形AEFG是菱形
【分析】根据矩形的性质可得∠OAD＝∠ODA＝45°，由折叠的性质得到∠ADE＝∠FDE＝＝22.5°，再利用三角形内角和定理即可求出∠AGD，以此判断A选项；由折叠的性质得到∠DFE＝∠DAE＝90°，AE＝EF，AD＝DF，易得△BEF为等腰直角三角形，则BF＝EF＝AE，设AD＝AB＝a，则DF＝a，BD＝a，AE＝EF＝BF＝，在Rt△ADE中，利用正切函数的定义判断B选项；由折叠的性质可得，AE＝EF，AG＝FG，∠AEG＝∠FEG，由∠DFE＝∠AOB＝90°可知EF∥AO，得到∠FEG＝∠AGE，进而得到∠AEG＝∠AGE，于是得到AE＝AG＝FG＝EF，以此可判定四边形AEFG为菱形，即可判断D选项；由GF∥AB得到∠GFO＝∠ABO＝45°，则AG＝FG＝OG，再根据三角形的面积公式即可判断C选项．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝DC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
根据折叠的性质可得，∠ADE＝∠FDE＝＝22.5°，
∴∠AGD＝180°﹣∠DAG﹣∠ADG＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故A选项正确，符合题意；
根据折叠的性质可得，∠DFE＝∠DAE＝90°，AE＝EF，AD＝DF，
∴∠BFE＝90°，
∵OA＝OB，AO⊥OB，
∴∠ABO＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BF＝EF＝AE，
设AD＝AB＝a，则DF＝a，
∴BD＝a，
∴BF＝BD﹣DF＝，
∴AE＝EF＝BF＝，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝＝＝，故B选项正确，符合题意；
由折叠的性质可得，AE＝EF，AG＝FG，∠AEG＝∠FEG，
∵∠DFE＝∠AOB＝90°，
∴EF∥AO，
∴∠FEG＝∠AGE，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG＝FG＝EF，
∴四边形AEFG为菱形，故D选项正确，符合题意；
∵四边形AEFG为菱形，
∴GF∥AB，
∴∠GFO＝∠ABO＝45°，
∴FG＝OG，
∴AG＝FG＝OG，
∴S△AGD＝＝OG•OD，S△OGD＝，
∴，故C选项错误，不符合题意．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟知折叠的性质．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11．分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝　a（a﹣b）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
12．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是　30%　．
【分析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据该买菜APP今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 　10　．

【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故答案为：10．

【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为 　　．
​

【分析】根据已知易得直线AP是BC的垂直平分线，从而可得BE＝BC＝3，BC⊥AP，进而可得当DP⊥AP时，DP最短，然后根据垂直定义可得∠APD＝∠AEB＝90°，再根据已知可得AD＝15，最后证明A字模型相似三角形△AEB∽△APD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
解：如图：

∵AB＝AC＝10，PB＝PC，
∴直线AP是BC的垂直平分线，
∴BE＝BC＝3，BC⊥AP，
∴当DP⊥AP时，DP最短，
∴∠APD＝∠AEB＝90°，
∵BD＝AB，
∴AD＝AB＝15，
∵∠EAB＝∠PAD，
∴△AEB∽△APD，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝，
∴PD的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
四、解答题（本题共8小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【分析】（1）根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：（1）原式＝•
＝•
＝a﹣2；
（2），
由①得，x≤1，
由②得，x＜4，
故不等式的解集为x≤1．
【点评】本题考查的的是分式的混合运算及解一元一次不等式组，熟知运算法则是解题的关键．
16．如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边AB和∠B还保留着．
​（1）小明要在练习册上画出原来的等腰△ABC，用到的基本作图可以是 　④　（填写正确答案的序号）；
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；
（2）CE为△ABC边AB上的中线，若∠B的一个外角为110°，求∠BCD的度数．

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线MN，C垂足为D，∠B的另一边交直线MN于点C，连接AC．△ABC即为所求作．
（2）利用钝角三角形的性质求解即可．
解：（1）如图，△ABC即为所求作．
作线段AB的垂直平分线MN，C垂足为D，∠B的另一边交直线MN于点C，连接AC．△ABC即为所求作，
故答案为：④；
（2）∵∠B的一个外角为110°，
∴∠B＝70°，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣2×70°＝40°，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠ACB＝20°．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：

（1）求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图．
（2）若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数．
（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率．
【分析】（1）由非常满意的有20人，占40%，即可求得此次调查中接受调查的人数，用总人数减去其他几项的人数即为满意的人数，再补全统计图即可．
（2）根据（1）求得的非常满意的人数和满意人数，用300×即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自同区的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）∵非常满意的有20人，占40%，
∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%＝50（人），
∴此次调查中结果为满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20＝18（人），
补全统计图如下：

（2）该市对市创卫工作表示满意的人数＝＝108（万），
该市对市创卫工作表示非常满意的人数＝300×＝120（万），
答：估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数分别为108万，120万；
（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自同区的有4种情况，
∴选择的市民均来自甲区的概率为：＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．
（1）求BC的长；（结果保留根号）
（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）


【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和BF的值，然后即可计算出BC的值；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．
解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，
则AF∥MN∥M′N′，
∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF，
∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°，
∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，
∵AF＝6米，
∴BF＝AF•tan30°＝6×＝2（米），CF＝AF•tan60°＝6×＝6（米），
∴BC＝CF﹣BF＝6﹣2＝4（米），
即BC的长为4米；
（2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米，
由题意可知：∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°．DE＝8.72米，
∴DN＝BN•tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米），
∵DN+DE＝BC+N′E，
∴0.4x+8.72＝4+0.85x，
解得x≈4，
即水池的深约为4米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在y＝a|x﹣1|+b中，如表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
7
m
3
1
n
1
3
…
（1）m＝　5　，n＝　﹣1　；
（2）平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（3）根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1． 　√　（判断对错）
②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小． 　×　（判断对错）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1． 　√　（判断对错）
（4）若方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是 　t＞﹣3　．

【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，3），（0，1），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入即可求出m，将x＝1代入即可求出n；
（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象；
（3）根据图象判断即可；
（4）根据图象得出当t＞﹣3时，直线y＝2x+t与函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象只有一个交点，即可得出方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是t＞﹣3．
解：（1）∵函数y＝a|x﹣1|+b的图象经过点（﹣1，3），（0，1），
∴，解得，
∴y＝2|x﹣1|﹣1，
∴当x＝﹣2时，m＝2×|﹣2﹣1|﹣1＝5，
当x＝1时，n＝2×|1﹣1|﹣1＝﹣1．
故答案为：5，﹣1；
（2）函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象如图所示：
（3）根据图象可知，
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1．正确；
②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小．错误；
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1．正确；
故答案为：√；×；√；
（4）把（1，﹣1）代入y＝2x+t得，t＝﹣3，
∴当t＞﹣3时，直线y＝2x+t与函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象只有一个交点，
∴方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是t＞﹣3．
故答案为：t＞﹣3．

【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．
20．振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形EFGH，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料
甲
乙
单价（元/米2）
800
600
​
设矩形的较短边AM的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．
【分析】（1）根据图形边长即可表示出MN的长；根据正方形和长方形的面积乘以每平方米的单价即可写出函数解析式；
（2）根据题意确定x的取值范围，根据函数的增减性即可得结论．
解：（1）根据题意，得AD＝AB＝6，AM＝MN＝x，
四周阴影部分是八个全等的矩形，
∴EF＝6﹣4x．
y＝800×8x（6﹣2x）+600（6﹣4x）2
＝﹣3200x2+9600x+21600．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣3200x2+9600x+21600．
（2）∵MN不小于2，
∴6﹣4x≥2，
∴0＜x≤1．
y＝﹣3200x2+9600x+21600，
＝﹣3200（x﹣）2+28800，
∵﹣3200＜0，图象开口向下．
当y＝28000时，即﹣3200（x﹣）2+28800＝28000，
解得x1＝2，x2＝1．
根据图象可知：0≤x≤1时，y的最大值不超过28000．
答：预备材料的购买资金28000元够用．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
21．【定义】
从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．

【应用】
（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为 　30°　；
（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；
【拓展应用】
（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．
【分析】（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，可得AB∥y轴，，OE＝3，进而得到，OD＝2，再由锐角三角函数可得∠BOD＝60°，∠COE＝30°，即可求解；
（2）过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，根据锐角三角函数可得∠OPA＝30°，∠OPB＝30°，从而得到∠APB＝60°，即可求证；
（3）分三种情况：当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA半径画圆，交直线于P3，P6；当在直线AB上方时，视角是∠BPD，此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5；当在直线CD下方时，视角是∠APC，此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，即可求解．
解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，

∵点，，，
∴AB∥y轴，，OE＝3，
∴AB⊥x轴，
∴，OD＝2，
∴，，
∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，
即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，

在中，OA＝2，OP＝4，
∴，
∴∠OPA＝30°，
同理可求得：∠OPB＝30°，
∴∠APB＝60°，
即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°，
∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值．
（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA半径画圆，交直线于P3，P6，
∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，
不符合视角的定义，P3，P6舍去．

同理，当在直线AB上方时，视角是∠BPD，
此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；
过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M，则AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，
∴，
∴当在直线CD下方时，视角是∠APC，
此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；
同理得：；
综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．
22．如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．
观察发现：
（1）如图1，当A，B两点均在直线l的上方时
①猜测线段AD，CE与BE的数量关系并说理由；
②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD＝3，AD＝9，请直接写出DH的长度．

【分析】（1）①过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，利用AAS证明△CBE≌△ABF，得CE＝AF，BE＝BF，再证四边形DEBF为正方形，得BE＝DE＝FD＝FB，从而证明结论；
②由①知：DC+AD＝DE+CD+AD＝DE+DF＝2BE；
（2）过点B作BG⊥AD，交AD延长线于点G，利用AAS证明△BCE≌△BAG，得CE＝AG，BE＝BG，从而证明结论；
（3）过点B作BF⊥AD，交DA于点F，由（2）同理可证△BAF≌△BCE，四边形DEBF为正方形，得CE＝AF，ED＝BE＝DF，从而得出AD﹣CD＝2BE，由DH∥EB，得，代入即可得出DH的长．
解：（1）①AD+CE＝BE，理由如下：
如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，

∵BE⊥l，BF⊥AD，
∴∠BEC＝∠F＝90°，
又∵AD⊥l，
∴∠FDE＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴∠FBE＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠FBE﹣∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABF，
在△CBE与△ABF中，
，
∴△CBE≌△ABF（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
又∵四边形DEBF为矩形，
∴四边形DEBF为正方形，
∴BE＝DE＝FD＝FB，
∴AD+CE＝AD+AF＝FD＝BE；
②由①知：DC+AD＝DE+CD+AD＝DE+DF＝2BE；
（2）DC﹣AD＝2BE，理由如下：
如图，过点B作BG⊥AD，交AD延长线于点G，

∵BE⊥l，BG⊥AD，
∴∠BEC＝∠G＝90°，
又∵AD⊥l，
∴∠GDE＝90°，
∴四边形DEBG为矩形，
∴∠GBE＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠GBE﹣∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABG，
在△BCE与△BAG中，
，
∴△BCE≌△BAG（AAS），
∴CE＝AG，BE＝BG，
又∵四边形DEB为矩形，
∴四边形DEBG为正方形，
∴DE＝BE＝BG＝DG，
∵CD＝CE+DE，
∴CD＝AG+BE＝AD+DG+BE＝AD+2BE，
∴DC﹣AD＝2BE；
（3）如图，过点B作BF⊥AD，交DA于点F，

由（2）同理可证△BAF≌△BCE，四边形DEBF为正方形，
∴CE＝AF，ED＝BE＝DF，
∵CD＝CE﹣ED，
∴CD＝AF﹣BE
＝AD﹣DF﹣BE
＝AD﹣2BE，
∴AD﹣CD＝2BE，
∵CD＝3，AD＝9，
∴BE＝ED＝3，CE＝CD+ED＝6，
∵DH∥EB，
∴，
∴，
∴DH＝．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．