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    2022年四川省德阳市中考数学试卷(解析版)

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    2022年四川省德阳市中考数学试卷(解析版)

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    这是一份2022年四川省德阳市中考数学试卷(解析版),共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022年四川省德阳市中考数学试卷
    一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,有且仅有一项是符合题目要求的.)
    1.(4分)﹣2的绝对值是(  )
    A.﹣2 B.2 C.±2 D.﹣
    2.(4分)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )
    A. B.
    C. D.
    3.(4分)下列计算正确的是(  )
    A.(a﹣b)2=a2﹣b2 B.=1
    C.a÷a•=a D.(﹣ab2)3=﹣a3b6
    4.(4分)如图,直线m∥n,∠1=100°,∠2=30°,则∠3=(  )

    A.70° B.110° C.130° D.150°
    5.(4分)下列事件中,属于必然事件的是(  )
    A.抛掷硬币时,正面朝上
    B.明天太阳从东方升起
    C.经过红绿灯路口,遇到红灯
    D.玩“石头、剪刀、布”游戏时,对方出“剪刀”
    6.(4分)在学校开展的劳动实践活动中,生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量(单位:kg)分别是:5,9,5,6,4,5,7,则这组数据的众数和中位数分别是(  )
    A.6,6 B.4,6 C.5,6 D.5,5
    7.(4分)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是(  )
    A.1km B.2km C.3km D.8km
    8.(4分)一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是(  )
    A.16π B.52π C.36π D.72π
    9.(4分)一次函数y=ax+1与反比例函数y=﹣在同一坐标系中的大致图象是(  )
    A. B.
    C. D.
    10.(4分)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列结论一定正确的是(  )

    A.四边形EFGH是矩形
    B.四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
    C.四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
    D.四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的
    11.(4分)如果关于x的方程=1的解是正数,那么m的取值范围是(  )
    A.m>﹣1 B.m>﹣1且m≠0 C.m<﹣1 D.m<﹣1且m≠﹣2
    12.(4分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的个数是(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分,将答案填在答题卡对应的题号后的横线上)
    13.(4分)分解因式:ax2﹣a=   .
    14.(4分)学校举行物理科技创新比赛,各项成绩均按百分制计,然后按照理论知识占20%,创新设计占50%,现场展示占30%计算选手的综合成绩(百分制).某同学本次比赛的各项成绩分别是:理论知识85分,创新设计88分,现场展示90分,那么该同学的综合成绩是    分.
    15.(4分)已知(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,则xy=   .
    16.(4分)如图,直角三角形ABC纸片中,∠ACB=90°,点D是AB边上的中点,连结CD,将△ACD沿CD折叠,点A落在点E处,此时恰好有CE⊥AB.若CB=1,那么CE=   .

    17.(4分)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究,尤其注意形与数的关系,“多边形数”也称为“形数”,就是形与数的结合物.用点排成的图形如下:

    其中:图①的点数叫做三角形数,从上至下第一个三角形数是1,第二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,……
    图②的点数叫做正方形数,从上至下第一个正方形数是1,第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数是1+3+5=9,……
    ……
    由此类推,图④中第五个正六边形数是    .
    18.(4分)如图,已知点A(﹣2,3),B(2,1),直线y=kx+k经过点P(﹣1,0).试探究:直线与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取值范围是    .

    三、解答题(本大题共7小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
    19.(7分)计算:+(3.14﹣π)0﹣3tan60°+|1﹣|+(﹣2)﹣2.
    20.(12分)据《德阳县志》记载,德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间,明末因兵灾焚毁,清乾隆五十二年重建.在没有高层建筑的时代,德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事.1971年,因破四旧再次遭废.现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品,于2005年12月27日破土动工,2007年元旦落成,坐落东山之巅,百尺高楼金碧辉煌,流光溢彩;万丈青壁之间,银光闪烁,蔚为壮观,已经成为人们休闲的打卡胜地.
    学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中,进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动,将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类.他们随机抽取部分市民进行问卷调查,并将结果绘制成了如下两幅统计图:

    (1)设本次问卷调查共抽取了m名市民,图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度,分别写出m,n的值;
    (2)根据以上调查结果,在12000名市民中,估计“非常了解”的人数有多少?
    (3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况,兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查,请用列举法(树状图或列表)求恰好抽到一男一女的概率.
    21.(11分)如图,一次函数y=﹣x+1与反比例函数y=的图象在第二象限交于点A,且点A的横坐标为﹣2.
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)点B的坐标是(﹣3,0),若点P在y轴上,且△AOP的面积与△AOB的面积相等,求点P的坐标.

    22.(11分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2cm,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动,同时,点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动.设点E,F的运动时间为t(单位:s),且0<t<3,过F作FG⊥BC于点G,连结EF.
    (1)求证:四边形EFGH是矩形;
    (2)连结FC,EC,点F,E在运动过程中,△BFC与△DCE是否能够全等?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由.

    23.(11分)习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调:实施乡村振兴战略,是党的十九大作出的重大决策部署,是新时代做好“三农”工作的总抓手.为了发展特色产业,红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株,B种树苗400株,已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍.
    (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元?
    (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种,其中A种树苗不多于25株,在单价不变,总费用不超过480元的情况下,共有几种购买方案?哪种方案费用最低?最低费用是多少元?
    24.(12分)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足是点H,过点C作直线分别与AB,AD的延长线交于点E,F,且∠ECD=2∠BAD.
    (1)求证:CF是⊙O的切线;
    (2)如果AB=10,CD=6,
    ①求AE的长;
    ②求△AEF的面积.

    25.(14分)抛物线的解析式是y=﹣x2+4x+a.直线y=﹣x+2与x轴交于点M,与y轴交于点E,点F与直线上的点G(5,﹣3)关于x轴对称.
    (1)如图①,求射线MF的解析式;
    (2)在(1)的条件下,当抛物线与折线EMF有两个交点时,设两个交点的横坐标是x1,x2(x1<x2),求x1+x2的值;
    (3)如图②,当抛物线经过点C(0,5)时,分别与x轴交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在x轴上方的抛物线上有一动点P,设射线AP与直线y=﹣x+2交于点N.求的最大值.


    2022年四川省德阳市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,有且仅有一项是符合题目要求的.)
    1.(4分)﹣2的绝对值是(  )
    A.﹣2 B.2 C.±2 D.﹣
    【分析】根据负数的绝对值是它的相反数,可得答案.
    【解答】解:﹣2的绝对值是2.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查绝对值的定义,规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
    2.(4分)下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
    【解答】解:A.既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;
    B.不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;
    C.不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;
    D.是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
    故选:A.
    【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
    3.(4分)下列计算正确的是(  )
    A.(a﹣b)2=a2﹣b2 B.=1
    C.a÷a•=a D.(﹣ab2)3=﹣a3b6
    【分析】根据分式的乘除法,算术平方根,幂的乘方与积的乘方,完全平方公式,进行计算即可进行判断.
    【解答】解:A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故A选项错误,不符合题意;
    B.==1,故B选项正确,符合题意;
    C.a÷a•=1×=,故C选项错误,不符合题意;
    D.(﹣ab2)3=﹣a3b6,故D选项错误,不符合题意.
    故选:B.
    【点评】本题考查了分式的乘除法,算术平方根,幂的乘方与积的乘方,完全平方公式,解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算.
    4.(4分)如图,直线m∥n,∠1=100°,∠2=30°,则∠3=(  )

    A.70° B.110° C.130° D.150°
    【分析】由两直线平行,同位角相等得到∠5=100°,再根据三角形的外角性质即可得解.
    【解答】解:如图:

    ∵直线m∥n,∠1=100°,
    ∴∠5=∠1=100°,
    ∵∠3=∠4+∠5,∠4=∠2=30°,
    ∴∠3=30°+100°=130°.
    故选:C.
    【点评】此题考查了平行线的性质,熟记平行线的性质定理即三角形的外角性质是解题的关键.
    5.(4分)下列事件中,属于必然事件的是(  )
    A.抛掷硬币时,正面朝上
    B.明天太阳从东方升起
    C.经过红绿灯路口,遇到红灯
    D.玩“石头、剪刀、布”游戏时,对方出“剪刀”
    【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.
    【解答】解:A、抛掷硬币时,正面朝上,是随机事件,不符合题意;
    B、明天太阳从东方升起,是必然事件,符合题意;
    C、经过红绿灯路口,遇到红灯,是随机事件,不符合题意;
    D、玩“石头、剪刀、布”游戏时,对方出“剪刀”,是随机事件,不符合题意;
    故选:B.
    【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
    6.(4分)在学校开展的劳动实践活动中,生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量(单位:kg)分别是:5,9,5,6,4,5,7,则这组数据的众数和中位数分别是(  )
    A.6,6 B.4,6 C.5,6 D.5,5
    【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可.
    【解答】解:这组数据中,出现次数最多的是5,共出现3次,因此众数是5,
    将这组数据从小到大排列:4、5、5、5、6、7、9,处在中间位置的一个数是5,因此中位数是5,
    故选:D.
    【点评】本题考查中位数、众数,理解中位数、众数的定义是解决问题的关键.
    7.(4分)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是(  )
    A.1km B.2km C.3km D.8km
    【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围,即可得到选项.
    【解答】解:当杨冲,李锐两家在一条直线上时,杨冲,李锐两家的直线距离为2km或8km,
    当杨冲,李锐两家不在一条直线上时,
    设李锐两家的直线距离为x,
    根据三角形的三边关系得5﹣3<x<5+3,即2<x<8,
    杨冲,李锐两家的直线距离可能为2km,8km,3km,
    故选:A.
    【点评】本题考查了三角形的三边关系,两点间的距离,熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.
    8.(4分)一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是(  )
    A.16π B.52π C.36π D.72π
    【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长,再根据扇形面积的计算公式S=进行计算即可.
    【解答】解:如图,AB=8,SA=SB=9,
    所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π,
    由扇形面积的计算公式得,
    圆锥侧面展开图的面积为×8π×9=36π,
    故选:C.

    【点评】本题考查弧长的计算,扇形面积的计算,掌握弧长、扇形面积的计算公式是正确计算的关键.
    9.(4分)一次函数y=ax+1与反比例函数y=﹣在同一坐标系中的大致图象是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点,可以从a>0,和a<0,两方面分类讨论得出答案.
    【解答】解:分两种情况:
    (1)当a>0,时,一次函数y=ax+1的图象过第一、二、三象限,反比例函数y=﹣图象在第二、四象限,无选项符合;
    (2)当a<0,时,一次函数y=ax+1的图象过第一、二、四象限,反比例函数y=﹣图象在第一、三象限,故B选项正确.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
    10.(4分)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列结论一定正确的是(  )

    A.四边形EFGH是矩形
    B.四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
    C.四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
    D.四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的
    【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形,进而逐一判断即可.
    【解答】解:A.如图,连接AC,BD,

    在四边形ABCD中,
    ∵点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,
    ∴EH∥BD,EH=BD,FG∥BD,FG=BD,
    ∴EH∥FG,EH=FG,
    ∴四边形EFGH是平行四边形,故A选项错误;
    B.∵四边形EFGH的内角和等于360°,四边形ABCD的内角和等于360°,故B选项错误;
    C.∵点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,
    ∴EH=BD,FG=BD,
    ∴EH+FG=BD,
    同理:EF+HG=AC,
    ∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和,故C选项正确;
    D.四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的,故D选项错误.
    故选:C.
    【点评】本题考查了中点四边形,矩形的判定,解决本题的关键是掌握三角形中位线定理.
    11.(4分)如果关于x的方程=1的解是正数,那么m的取值范围是(  )
    A.m>﹣1 B.m>﹣1且m≠0 C.m<﹣1 D.m<﹣1且m≠﹣2
    【分析】先去分母将分式方程化成整式方程,再求出方程的解x=﹣1﹣m,利用x>0和x≠1得出不等式组,解不等式组即可求出m的范围.
    【解答】解:两边同时乘(x﹣1)得,
    2x+m=x﹣1,
    解得:x=﹣1﹣m,
    又∵方程的解是正数,且x≠1,
    ∴,即,
    解得:,
    ∴m的取值范围为:m<﹣1且m≠﹣2.
    故答案为:D.
    【点评】本题主要考查了分式方程的解,一元一次不等式,正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键.
    12.(4分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的个数是(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD,则可对①进行判断;直接利用三角形内心的性质对②进行判断;根据垂径定理则可对③进行判断;通过证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE,则可对④进行判断.
    【解答】解:∵E是△ABC的内心,
    ∴AD平分∠BAC,
    ∴∠BAD=∠CAD,故①正确;
    如图,连接BE,CE,

    ∵E是△ABC的内心,
    ∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=ACB,
    ∵∠BAC=60°,
    ∴∠ABC+∠ACB=120°,
    ∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=120°,故②正确;

    ∵∠BAD=∠CAD,
    ∴=,
    ∴OD⊥BC,
    ∵点G为BC的中点,
    ∴G一定在OD上,
    ∴∠BGD=90°,故③正确;
    如图,连接BE,
    ∴BE平分∠ABC,
    ∴∠ABE=∠CBE,
    ∵∠DBC=∠DAC=∠BAD,
    ∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB,
    ∴∠DBE=∠DEB,
    ∴DB=DE,故④正确.
    ∴一定正确的①②③④,共4个.
    故选:D.
    【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心,圆周角定理,三角形的外接圆与外心,解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心.
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分,将答案填在答题卡对应的题号后的横线上)
    13.(4分)分解因式:ax2﹣a= a(x+1)(x﹣1) .
    【分析】应先提取公因式a,再利用平方差公式进行二次分解.
    【解答】解:ax2﹣a,
    =a(x2﹣1),
    =a(x+1)(x﹣1).
    【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,分解因式要彻底,直到不能再分解为止.
    14.(4分)学校举行物理科技创新比赛,各项成绩均按百分制计,然后按照理论知识占20%,创新设计占50%,现场展示占30%计算选手的综合成绩(百分制).某同学本次比赛的各项成绩分别是:理论知识85分,创新设计88分,现场展示90分,那么该同学的综合成绩是  88 分.
    【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可.
    【解答】解:85×20%+88×50%+90×30%=88(分),
    故答案为:88.
    【点评】本题考查加权平均数,理解加权平均数的定义,掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键.
    15.(4分)已知(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,则xy= 4 .
    【分析】已知两式左边利用完全平方公式展开,相减即可求出xy的值.
    【解答】解:∵(x+y)2=x2+y2+2xy=25,(x﹣y)2=x2+y2﹣2xy=9,
    ∴两式相减得:4xy=16,
    则xy=4.
    故答案为:4
    【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
    16.(4分)如图,直角三角形ABC纸片中,∠ACB=90°,点D是AB边上的中点,连结CD,将△ACD沿CD折叠,点A落在点E处,此时恰好有CE⊥AB.若CB=1,那么CE=  .

    【分析】如图,设CE交AB于点O.证明∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°,求出CO,证明CO=OE,可得结论.
    【解答】解:如图,设CE交AB于点O.

    ∵∠ACB=90°,AD=DB,
    ∴CD=AD=DB,
    ∴∠A=∠ACD,
    由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE,
    ∵CE⊥AB,
    ∴∠BCE+∠B=90°,
    ∵∠A+∠B=90°,
    ∴∠BCE=∠A,
    ∴∠BCE=∠ACD=∠DCE=30°,
    ∴CO=CB•cos30°=,
    ∵DA=DE,DA=DC,
    ∴DC=DE,
    ∵DO⊥CE,
    ∴CO=OE=,
    ∴CE=.
    故答案为:.
    【点评】本题考查翻折变换,解直角三角形,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
    17.(4分)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究,尤其注意形与数的关系,“多边形数”也称为“形数”,就是形与数的结合物.用点排成的图形如下:

    其中:图①的点数叫做三角形数,从上至下第一个三角形数是1,第二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,……
    图②的点数叫做正方形数,从上至下第一个正方形数是1,第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数是1+3+5=9,……
    ……
    由此类推,图④中第五个正六边形数是  45 .
    【分析】根据前三个图形的变化寻找规律,即可解决问题.
    【解答】解:图①的点数叫做三角形数,从上至下第一个三角形数是1,第二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,……
    图②的点数叫做正方形数,从上至下第一个正方形数是1,第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数是1+3+5=9,……
    图③的点数叫做五边形数,从上至下第一个五边形数是1,第二个五边形数是1+4=5,第三个五边形数是1+4+7=12,……
    由此类推,图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17=45.
    故答案为:45.
    【点评】本题考查了规律型:图形的变化类,数学常识,解题的关键是找出变化规律.
    18.(4分)如图,已知点A(﹣2,3),B(2,1),直线y=kx+k经过点P(﹣1,0).试探究:直线与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取值范围是  k≤﹣3或k≥ .

    【分析】利用临界法求得直线PA和PB的解析式即可得出结论.
    【解答】解:当k<0时,
    ∵直线y=kx+k经过点P(﹣1,0),A(﹣2,3),
    ∴﹣2k+k=3,
    ∴k=﹣3;
    ∴k≤﹣3;
    当k>0时,
    ∵直线y=kx+k经过点P(﹣1,0),B(2,1),
    ∴2k+k=1,
    ∴k=.
    ∴k≥;
    综上,直线与线段AB有交点时,猜想k的取值范围是:k≤﹣3或k≥.
    故答案为:k≤﹣3或k≥.
    【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标的特征,利用待定系数法求出临界值是解题的关键.
    三、解答题(本大题共7小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
    19.(7分)计算:+(3.14﹣π)0﹣3tan60°+|1﹣|+(﹣2)﹣2.
    【分析】利用零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,即可解决问题.
    【解答】解:原式=2+1﹣3×+﹣1+
    =2+1﹣3+﹣1+
    =.
    【点评】本题考查了实数的运算,零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,解决本题的关键是利用以上知识准确计算.
    20.(12分)据《德阳县志》记载,德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间,明末因兵灾焚毁,清乾隆五十二年重建.在没有高层建筑的时代,德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事.1971年,因破四旧再次遭废.现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品,于2005年12月27日破土动工,2007年元旦落成,坐落东山之巅,百尺高楼金碧辉煌,流光溢彩;万丈青壁之间,银光闪烁,蔚为壮观,已经成为人们休闲的打卡胜地.
    学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中,进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动,将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类.他们随机抽取部分市民进行问卷调查,并将结果绘制成了如下两幅统计图:

    (1)设本次问卷调查共抽取了m名市民,图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度,分别写出m,n的值;
    (2)根据以上调查结果,在12000名市民中,估计“非常了解”的人数有多少?
    (3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况,兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查,请用列举法(树状图或列表)求恰好抽到一男一女的概率.
    【分析】(1)利用图表信息解答即可;
    (2)利用统计的基本方法,用样本的特性估计总体的相应特性即可;
    (3)利用列表法解答即可.
    【解答】解:(1)由图(1)可知:“基本了解”的人数为40人,
    由图(2)可知:“基本了解”的人数占总数的20%,
    ∴m=40÷20%=200(人);
    由图(1)可知:“比较了解”有100人,
    ∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°,
    由图2知:“不太了解”所对应扇形的圆心角是n=360°×(50%﹣20%﹣28%)=7.2度;
    (2)由图2知:“非常了解”的人数占总人数的28%,
    于是估计在12000名市民中,“非常了解”的人数有12000×28%=3360(人).
    答:在12000名市民中,估计“非常了解”的人数有3360人.
    (3)从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查,抽查情况列表如下:

    由上表可知,一共有20种等可能,其中恰好抽到一男一女的情况有12种,
    ∴恰好抽到一男一女的概率为.
    【点评】本题主要考查了调查搜集数据的过程和方法,用样本估计总体的统计方法,扇形统计图,条形统计图,用列表法求事件的概率,熟练掌握统计的思想方法是解题的关键.
    21.(11分)如图,一次函数y=﹣x+1与反比例函数y=的图象在第二象限交于点A,且点A的横坐标为﹣2.
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)点B的坐标是(﹣3,0),若点P在y轴上,且△AOP的面积与△AOB的面积相等,求点P的坐标.

    【分析】(1)首先确定点A的坐标,再利用待定系数法求出k即可;
    (2)设P(0,m),构建方程求解.
    【解答】解(1)∵一次函数y=﹣x+1与反比例函数y=的图象在第二象限交于点A,点A的横坐标为﹣2,
    当x=﹣2时,y=﹣×(﹣2)+1=4,
    ∴A(﹣2,4),
    ∴4=,
    ∴k=﹣8,
    ∴反比例函数的解析式为y=﹣;

    (2)设P(0,m),
    ∵△AOP的面积与△AOB的面积相等,
    ∴×|m|×2=×3×4,
    ∴m=±6,
    ∴P(0,6)或(0,﹣6).
    【点评】本题考查反比例函数的性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是掌握待定系数法,属于中考常考题型.
    22.(11分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2cm,过点D作BC的垂线,交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动,同时,点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动.设点E,F的运动时间为t(单位:s),且0<t<3,过F作FG⊥BC于点G,连结EF.
    (1)求证:四边形EFGH是矩形;
    (2)连结FC,EC,点F,E在运动过程中,△BFC与△DCE是否能够全等?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由.

    【分析】(1)根据平行线的判定定理得到EH∥FG,由题意知BF=2tcm,EH=tcm,推出四边形EFGH是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形;
    (2)根据菱形的性质得到∠ABC=60°,AB=2cm,求得∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=2cm,解直角三角形即可得到结论.
    【解答】(1)证明:∵EH⊥BC,FG⊥BC,
    ∴EH∥FG,
    由题意知BF=2tcm,EH=tcm,
    ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
    ∴∠CBD=30°,
    ∴FG=BF=t,
    ∴EH=FG,
    ∴四边形EFGH是平行四边形,
    ∵∠FGH=90°,
    ∴四边形EFGH是矩形;
    (2)△BFC与△DCE能够全等,
    理由:∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2cm,
    ∴∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=2cm,AB∥CD,
    ∴∠CBD=∠CDB=30°,∠DCH=∠ABC=60°,
    ∵DH⊥BC,
    ∴∠CHD=90°,
    ∴∠CDH=90°﹣60°=30°=∠CBF,
    在Rt△CDH中,cos∠CDH=,
    ∴DH=2×=3,
    ∵BF=2tcm,
    ∴EH=tcm,
    ∴DE=(3﹣t)cm,
    ∴当BF=DE时,△BFC≌△DEC,
    ∴2t=3﹣t,
    ∴t=1.
    【点评】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的性质,解直角三角形,熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.
    23.(11分)习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调:实施乡村振兴战略,是党的十九大作出的重大决策部署,是新时代做好“三农”工作的总抓手.为了发展特色产业,红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株,B种树苗400株,已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍.
    (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元?
    (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种,其中A种树苗不多于25株,在单价不变,总费用不超过480元的情况下,共有几种购买方案?哪种方案费用最低?最低费用是多少元?
    【分析】(1)设A种树苗每株x元,B种树苗每株y元,根据题意得到等量关系建立方程组求出其解即可;
    (2)设A种树苗购买a株,则B种树苗购买(100﹣a)株,总费用为w元,根据题意得w=﹣a+500,然后根据一次函数性质即可解决问题.
    【解答】解:(1)设A种树苗每株x元,B种树苗每株y元,由题意,得

    解得,
    答:A种树苗每株4元,B种树苗每株5元;
    (2)设购买A种树苗a株,则购买B种树苗(100﹣a)株,总费用为w元,
    由题意得:a≤25,w≤480,
    ∵w=4a+5(100﹣a)=﹣a+500,
    ∴﹣a+500≤480,
    解得:a≥20,
    ∴20≤a≤25,
    ∴a是整数,
    ∴a取20,21,22,23,24,25,
    ∴共有6种购买方案,
    方案一:购买A种树苗20株,购买B种树苗80株,
    方案二:购买A种树苗21株,购买B种树苗79株,
    方案三:购买A种树苗22株,购买B种树苗78株,
    方案四:购买A种树苗23株,购买B种树苗77株,
    方案五:购买A种树苗24株,购买B种树苗76株,
    方案六:购买A种树苗25株,购买B种树苗75株,
    ∵w=﹣a+500,k=﹣1<0,
    ∴w随a的增大而减小,
    ∴a=25时,w最小,
    ∴第六种方案费用最低,最低费用是475元.
    答:共有6种购买方案,费用最省的购买方案是购买A树苗25株,B种树苗75株,最低费用是475元.
    【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,不等式的运用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系列出方程组,找出不等关系列出不等式.
    24.(12分)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足是点H,过点C作直线分别与AB,AD的延长线交于点E,F,且∠ECD=2∠BAD.
    (1)求证:CF是⊙O的切线;
    (2)如果AB=10,CD=6,
    ①求AE的长;
    ②求△AEF的面积.

    【分析】(1)连接OC,利用圆周角定理,垂径定理,同圆的半径线段,等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可;
    (2)①利用勾股定理和相似三角形的判定定理与性质定理解答即可;
    ②过点F作FG⊥AB,交AB的延长线于点G,设FG=4k,则FE=5k,利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求得FG,再利用三角形的面积公式解答即可.
    【解答】(1)证明:连接OC,如图,

    ∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
    ∴,
    ∴∠CAB=∠DAB.
    ∵∠COB=2∠CAB,
    ∴∠COB=2∠BAD.
    ∵∠ECD=2∠BAD,
    ∴∠ECD=∠COB.
    ∵AB⊥CD,
    ∴∠COB+∠OCH=90°,
    ∴∠OCH+∠ECD=90°,
    ∴∠OCE=90°.
    ∴OC⊥CF.
    ∵OC是⊙O的半径,
    ∴CF是⊙O的切线;
    (2)解:①∵AB=10,
    ∴OA=OB=OC=5,
    ∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
    ∴CH=DH=CD=3.
    ∴OH==4,
    ∵OC⊥CF,CH⊥OE,
    ∴△OCH∽△OEC,
    ∴,
    ∴,
    ∴OE=.
    ∴AE=OA+OE=5+=;
    ②过点F作FG⊥AB,交AB的延长线于点G,如图,

    ∵∠OCF=∠FGE=90°,∠CEO=∠GEF,
    ∴△OCE∽△FGE.
    ∴,
    设FG=4k,则FE=5k,
    ∴EG==3k,
    ∵DH⊥AB,FG⊥AB,
    ∴DH∥FG.
    ∴,
    ∴,
    解得:k=.
    ∴FG=4k=5.
    ∴△AEF的面积=×AE•FG=.
    【点评】本题主要考查了圆的切线的判定,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质,勾股定理,连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.
    25.(14分)抛物线的解析式是y=﹣x2+4x+a.直线y=﹣x+2与x轴交于点M,与y轴交于点E,点F与直线上的点G(5,﹣3)关于x轴对称.
    (1)如图①,求射线MF的解析式;
    (2)在(1)的条件下,当抛物线与折线EMF有两个交点时,设两个交点的横坐标是x1,x2(x1<x2),求x1+x2的值;
    (3)如图②,当抛物线经过点C(0,5)时,分别与x轴交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在x轴上方的抛物线上有一动点P,设射线AP与直线y=﹣x+2交于点N.求的最大值.

    【分析】(1)求出点M,点F的坐标,设直线MF的解析式为y=kx+b,构建方程组求出k,b即可;
    (2)说明抛物线与折线EMF有两个交点关于抛物线的对称轴对称,可得结论;
    (3)如图②中,过点P作PT∥AB交直线ME于点T.设P(t,﹣t2+4t+5),则T(t2﹣4t﹣3,﹣t2+4t+5),由PT∥AM,推出==(t﹣(t2﹣4t﹣3)=﹣(t﹣)2+,利用二次函数的性质,可得结论.
    【解答】解:(1)∵点F与直线上的点G(5,﹣3)关于x轴对称,
    ∴F(5,3),
    ∵直线y=﹣x+2与x轴交于点M,
    ∴M(2,0),
    设直线MF的解析式为y=kx+b,
    则有,
    解得,
    ∴射线MF的解析式为y=x﹣2(x≥2);

    (2)如图①中,设折线EMF与抛物线的交点为P,Q.

    ∵抛物线的对称轴x=﹣=2,点M(2,0),
    ∴点M值抛物线的对称轴上,
    ∵直线EM的解析式为y=﹣x+2,直线MF的解析式为y=x﹣2,
    ∴直线EM,直线MF关于直线x=2对称,
    ∴P,Q关于直线x=2对称,
    ∴2=,
    ∴x1+x2=4;

    (3)如图②中,过点P作PT∥AB交直线ME于点T.

    ∵C(0,5),
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5,
    ∴A(﹣1,0),B(5,0),
    设P(t,﹣t2+4t+5),则T(t2﹣4t﹣3,﹣t2+4t+5),
    ∵PT∥AM,
    ∴==(t﹣(t2﹣4t﹣3)=﹣(t﹣)2+,
    ∵﹣<0,
    ∴有最大值,最大值为.
    【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,轴对称等知识,解题的关键是理解题意,学会构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题,属于中考压轴题.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/7/26 11:39:36;用户:严兰;邮箱:15527462825;学号:39033143

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