2023年内蒙古乌兰察布市集宁区天立学校中考数学调研试卷（含解析）

2023年内蒙古乌兰察布市集宁区天立学校中考数学调研试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，，点在上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在中，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，点是的中点，，，若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若∽且相似比为：，则与的面积比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

10.  如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  点是等边三角形的边上的一点，且，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点，分别在和上，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  在等腰直角三角形中，，，是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

13.  如图，在半径为和的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点，则弦的长为______．

14.  如图，已知，，以点为位似中心，按位似比：把缩小，则点的对应点的坐标为______．

15.  如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格上，则的值为        ．

16.  如图，在中，，，，，的平分线交于点，则______．

17.  如图，已知半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，半径，则______．

18.  如图，在中，，若，则        ．

19.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

20.  如图，在中，，点、分别在、上，平分，，，．
求
、的长；
的值．

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
如图，海中有一灯塔，它的周围海里内有暗礁．海轮以海里时的速度由西向东航行，在处测得灯塔在北偏东方向上；航行分钟到达处，测得灯塔在北偏东方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

22.  本小题分
某广告公司设计一幅周长为米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米元．设矩形一边长为，面积为平方米．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
设计费能达到元吗？为什么？
当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？

23.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接、，是的切线．
求证：是的切线．
若的半径为，，求平行四边形的面积．

24.  本小题分
如图，在▱中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
如图，是边上一点，连接，，与相交于点．
若，求的长；
在满足的条件下，若，求证：；
如图，连接，是上一点，连接若，且，求的长．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，顶点的坐标是，是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与轴交于点．
求该抛物线的解析式；
如图，是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记，的面积分别为，当，且直线时，求证：点与点关于轴对称；
如图，直线与轴交于点，是否存在点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
先把化成，再代值计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，把化成是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
故选：．
由锐角三角函数定义得，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，点在上，
，
故选：．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数．
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：解法：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，
，和．
，设，则，结合得．
．
故选：．
本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，则，
设，，
，
，即，
，
故选：．
先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．
本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于点．

，设，则，，，
，
，
，
，
．
故选：．
延长交的延长线于点利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：、因为，故错误，不符合题意；
B、因为，，所以，故错误，不符合题意；
C、因为，，所以，故错误，不符合题意；
D、因为，，所以，故正确，符合题意．
故选：．
根据特殊角的三角函数值，分别计算即可判断．
本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明∽，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
，
．  

9.【答案】 

【解析】解：∽，且相似比为：，
与的面积比为：，
故选：．
利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
解得，，
即建筑物的高是，
故选：．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，．
由翻折的性质可知：．
．
，
．
∽．
，即．
解得：．
．
故选：．
先求得，由翻折的性质可知：，然后证明∽，利用相似三角形的性质可求得，然后可求得的长．
本题主要考查的是等边三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质求得的长是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，取的中点，连接，，如图所示：
是直径，
，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
当点，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为，
故选：．
连接，取的中点，连接，，根据是直径，可得，进一步可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，根据勾股定理可得的长，根据三角形三边关系即可确定的最小值．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是小圆的切线，
．
是大圆的弦，
，
在中，，
则．
故答案为：．
根据切线的性质得到，根据垂径定理得到，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，以点为位似中心，按位似比：把缩小，
点的对应点的坐标为：或．
故答案为：或．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或计算即可．
本题考查的是位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 

【解析】解：法一、，，
，
，
．
．
故答案为：．
法二、，，
，
又，
，．
．
．
故答案为：．
先利用格点和勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，最后利用三角形的边角关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：．
【分析】
本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
由，，，所以，再证明，根据相似比求出的长．  

17.【答案】 

【解析】解：如图连接．

半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，
，，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
故答案为．
想办法证明∽，可得，推出．
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，
，，
，
．
在中，由勾股定理得
，
．
故答案为：．
先过点作于点，求得，故再在中，由勾股定理得的长，利用锐角三角函数的定义，求得．
本题考查了锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

19.【答案】 

【解析】解：过作轴于，过作轴，轴，
，
点，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作轴于，过作轴，轴，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，由，，得：，
由勾股定理得
平分，，，角平分线性质得：．

方法一：由，，得：．
在与，，，
∽得：，即，，
得：
方法二：由得，又，得，
由勾股定理得得：． 

【解析】由，，，可求出的长，根据勾股定理可求出的长，由角平分线的性质可得；
由，，得由，，可知∽，由相似三角形边长的比可求出的长，根据三角函数的定义可求出．
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．
 

21.【答案】解：过作于．
海里．
，

海里．
在直角中，海里．

海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险． 

【解析】易证是等腰三角形，过作，求得的长，与海里比较大小即可．
本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：矩形的一边为米，周长为米，
另一边长为米，
，其中；

能，
设计费能达到元，
当设计费为元时，面积为平方米，
即，
解得：或，
设计费能达到元．

，
当时，，
当米时，矩形的最大面积为平方米，设计费最多，最多是元． 

【解析】由矩形的一边长为、周长为得出另一边长为，根据矩形的面积公式可得答案；
由设计费为元得出矩形面积为平方米，据此列出方程，解之求得的值，从而得出答案；
将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

与相切于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
在和中，

，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：，，
，
，
，
平行四边形的面积． 

【解析】要证明是的切线，只要求出即可，所以只要证明即可解答；
根据已知可求出的面积，从而求出的面积，最后利用平行四边形的面积即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，，
∽，
，
，
，
，
．
证明：，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
连接，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
设，则，
，
，
，
即，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
连接，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
本题主要考查了四边形的相关知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理是解答本题关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于，顶点的坐标是，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
证明：过点作轴，垂足为，

当与都以为底时，
，
，
当时，则，
解得，
，
，
，，
设点的坐标为，
点在第一象限，
，
，
即，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
，
，
即直线的解析式为，将其代入中，
得，
解得或，
点在第二象限，
，
，
点与点关于轴对称；
过点作轴，垂足为，令，

，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
解得，
当时，，
，
存在点，使得． 

【解析】用待定系数法求出解析式即可；
过点作轴，垂足为，根据面积关系得出，设点的坐标为，求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，根据点坐标求出直线的解析式，确定点的坐标，即可得出结论；
过点作轴，垂足为，令，用的代数式表示出和，利用三角函数得出和的代数式，根据，得出关于的方程，求出的值即可得出点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角函数，一次函数的性质等知识是解题的关键．