3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第三章 导数

3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值（题型战法）

知识梳理

一 求函数的单调性

一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；

函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：

二 求函数的极值

1.极值点与极值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有

（1）f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值;

（2）f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值.

极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.

2．函数的导数与极值

（1）极小值点与极小值

若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0 ，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．

（2）极大值点与极大值

若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b) 叫做函数y＝f (x)的极大值．

（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

三 求函数的最值

1.函数的最值

(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；

(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是极值点，要么是区间端点a或b.

2.求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值 ；

(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

题型战法

题型战法一 利用导数求函数的单调区间

典例1．函数的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

变式1-1．已知函数，则函数的单调递增区间为（       ）

A． B．，

C． D．

变式1-2．函数的单调递减区间为（       ）

A．（－∞，0） B．（0，2） C．（2，＋∞） D．

变式1-3．函数的递增区间是（       ）

A． B．

C．， D．

变式1-4．函数的单调减区间是（       ）

A． B．

C． D．和

题型战法二 由函数的单调性求参数

典例2．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）

变式2-1．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式2-2．若函数的单调递增区间为，求的取值范围（       ）

A．－6 B．6 C．6或－6 D．

变式2-3．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

变式2-4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

题型战法三 含参的单调性讨论（一根型）

典例3．设函数，求的单调区间．

变式3-1．已知函数.讨论的单调性；

变式3-2．已知函数，讨论的单调性.

变式3-3．已知函数，讨论函数在区间内的单调性；

变式3-4．已知函数，其中，讨论的单调性；

题型战法四 含参的单调性讨论（二根型）

典例4．设函数，其中．讨论的单调性.

变式4-1．已知函数，讨论的单调性；

变式4-2．已知函数，求函数f(x)的单调区间；

变式4-3．设函数，讨论函数的单调性.

变式4-4．已知函数，．若，求函数的单调区间.

题型战法五 求函数的极值点、极值

典例5．函数的极小值点是（       ）

A．2 B．（2， ） C．-2 D．（-2，）

变式5-1．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xex，则

A．1是f（x）的极小值点 B．﹣1是f（x）的极小值点

C．1是f（x）的极大值点 D．﹣1是f（x）的极大值点

变式5-2．函数的极大值为（       ）

A．-2 B．2 C． D．不存在

变式5-3．函数有（       ）

A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值

C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为

变式5-4．已知函数，则的极大值为（       ）

A． B． C． D．

题型战法六 由函数的极值点、极值求参数

典例6．若函数在处有极值，则（       ）

A． B．

C． D．a不存在

变式6-1．若是函数的极值点，则的值是（       ）

A． B．0 C．1 D．

变式6-2．已知函数，在处取得极大值，则实数的值是

A． B．2 C．2或6 D．6

变式6-3．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（       ）

A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)  C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

变式6-4．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

题型战法七 求函数的最值

典例7．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （       ）

A． B．

C． D．

变式7-1．函数在（0，e]上的最大值为（       ）

A．－1 B．1 C．0 D．e

变式7-2．函数在区间上的最大值和最小值分别为（       ）

A．2和 B．2和0 C．0和 D．1和0

变式7-3．已知函数，，则函数的最大值为（       ）

A．0 B．

C． D．

变式7-4．函数在上的最大值为（　　）

A． B．π C． D．

题型战法八 由函数的最值求参数

典例8．函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围（       ）

A． B． C． D．

变式8-1．函数在区间上的最大值是，则的值为(　　)

A．3 B．1

C．2 D．－1

变式8-2．当时，函数取得最大值，则（       ）

A． B． C． D．1

变式8-3．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式8-4．函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．