5.1.2平面向量（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第五章 平面向量与复数

5.1.2 平面向量（针对练习）

针对练习

针对练习一 平面向量的实际背景及基本概念

1．下列说法正确的是（       ）

A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得

B．零向量是没有方向的向量

C．任意两个单位向量的方向相同

D．同向的两个向量可以比较大小

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量得实际背景及基本概念，依次判断各项正误.

【详解】

∵与为非零向量，且共线，∴存在实数，使得，A正确；

零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；

任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；

不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.

故选：A.

2．在下列说法中：

①若，，则；       ②零向量的模长是；

③长度相等的向量叫相等向量；       ④共线是在同一条直线上的向量．

其中正确说法的序号是（       ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相等向量、共线向量、零向量的定义判断即可；

【详解】

解：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确，

模为的向量叫做零向量，故②正确，

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；

故选：A

3．下列有关向量的命题正确的是（       ）

A．长度相等的向量均为相等向量

B．若ABCD是平行四边形，则必有

C．非零向量，，，等式恒成立

D．若非零向量，满足，则，所在的直线平行或重合

【答案】D

【解析】

【分析】

由相等向量的概念可判断A；结合图形和相等向量概念可判断B；由数量积的性质可判断C；由共线向量的概念可判断D.

【详解】

由相等向量概念可知A错误；

由图知，为相反向量，B错误；

记，则，显然，，不共线时，C错误；

由平行向量的概念可知，D正确.

故选：D

4．下列说法错误的是（       ）

A．若，则 B．零向量与任一向量平行

C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同

【答案】C

【解析】

【分析】

对A，根据模长的定义判断即可；

对BC，根据零向量的性质判断即可；

对D，根据相等向量的性质判断即可

【详解】

对A，零向量的模长为0，故A正确；

对B，零向量与任一向量平行，故B正确；

对C，零向量的方向是任意的，故C错误；

对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确；

故选：C

5．下列说法正确的是(     )

①有向线段三要素是始点、方向、长度；

②向量两要素是大小和方向；

③同向且等长的有向线段表示同一向量；

④在平行四边形中，．

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据有向线段的定义、向量的定义、以及向量的几何意义可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．

【详解】

①始点、方向、长度可以确定一条有向线段，即有向线段三要素是始点、方向、长度，故①正确；

②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，故②正确；

③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等，方向相同，故为同一向量，故③正确；

④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，故，故④正确．

故选：D．

针对练习二 平面向量的线性运算

6．已知D，E分别是的边和的中点，若，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】

解：因为，分别是的边和的中点，

所以

．

故选：D．

7．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量加减法的三角形法则计算即可.

【详解】

解：由题意可得：，，，．

∴，

故选：D.

8．如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，可得E为AD中点，根据向量的线性运算法则，即可得答案.

【详解】

∵D在线段BC上，且，

∴，

又E为线段AD上一点，若与的面积相等，

∴，则E为AD的中点，

又，，

所以，

故选：D

9．在平行四边形中，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】

解：因为，所以，

所以.

故选：D

10．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A三等分点，点E是线段BC的中点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意可得，，根据平面向量的加减运算可得.

【详解】

由已知可得，，

所以．

故选：B．

针对练习三 平面向量的坐标运算

11．已知向量，，则的坐标为（       ）

A．(－3，－10) B．(－3，－2)

C．(－3，2) D．(3，－10)

【答案】A

【解析】

【分析】

依据向量的坐标运算规则解之即可.

【详解】

故选：A

12．向量，，则（       ）

A． B． C．4 D．13

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出，再由模长公式求解即可.

【详解】

，则.

故选：C.

13．已知向量，，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】

解：因为，，，

所以，又，

所以，解得.

故选：B

14．设平面向量，，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用平面向量的模长公式可求得结果.

【详解】

由已知可得，可得，故，因此，.

故选：C.

15．已知向量，，且，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

求出的坐标后可求的值.

【详解】

，

由可得，解得，

故选：C

针对练习四 平面向量的数量积（模长问题）

16．若，且与的夹角为，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

把模平方转化为数量积的运算求解．

【详解】

由已知，

．

故选：A．

17．已知 为单位向量， 且 ， 则 （       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可.

【详解】

为单位向量， 且 ，

可得，

所以，则

故选：A

18．已知，，，则（       ）

A． B．19 C． D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

由及数量积的运算律计算可得.

【详解】

解：因为，，，

所以

.

故选：A

19．已知向量，满足，，，则（       ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量数量积的运算律可得，结合已知即可求.

【详解】

由，可得.

故选：B

20．已知向量满足，且，则 （       ）

A．6 B．8 C．36 D．64

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可得，然后利用模长公式即得.

【详解】

因为，

所以．

因为，

所以．

故选：B.

针对练习五 平面向量的数量积（夹角问题）

21．已知，，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

将两边平方，代入，化简可得，再根据向量的夹角公式求解即可

【详解】

由可得，即，故，即，

设与的夹角为，则，即，又 ，故

故选：D

22．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由求出，由两边平方求出，再根据平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】

因为，所以，

因为，，

所以，所以，

所以，所以，

所以，

因为，所以.

故选：B

23．已知，，，则与的夹角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】

由得：，即有，而，则，

于是得，又，解得，

所以与的夹角是.

故选：D

24．已知向量，满足，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量，满足，求得且，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

因为向量，满足，

由，可得，即，即

又由，可得，

即，解得，即，

又因为，

因为，所以，即与的夹角为.

故选：B.

25．已知，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知条件求出的值，再利用向量的夹角公式求解即可

【详解】

设与的夹角为，

因为，

所以，得，

所以，

因为，

所以，

故选：B

针对练习六 平面向量的投影

26．已知，与的夹角为60°，则在上的投影为（       ）

A．1 B．2 C．－2 D．－1

【答案】A

【解析】

【分析】

直接用定义即可求出.

【详解】

由题可得在上的投影为.

故选：A.

27．若向量满足，则在方向上的投影为（     ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据求出，根据即可求投影.

【详解】

，

故在方向上的投影.

故选：D.

28．已知，与非零向量同向的单位向量为，且，向量在上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的几何意义，利用公式，即可求得向量在上的投影向量.

【详解】

由题意，，与非零向量同向的单位向量为，且，

可得向量在上的投影向量为 .

故选：B.

29．已知向量，则在方向上的投影是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

在方向上的投影为，将已知条件代入即可求解

【详解】

因为，，

则在方向上的投影为

故选：C

30．向量在向量上的射影为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用数量积的几何意义直接求解即可

【详解】

向量在向量上的射影为

，

故选：D

针对练习七 平面向量的共线定理的推论

31．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，，则（       ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

本题应用两个结论：

，点O是BC的中点；

三点共线：若A、B、C三点共线，则．

【详解】

由题意得，

因为M、O、N三点共线，所以，解得，

故选B．

32．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

由，得，代入中，再由三点共线，列方程可求出实数的值

【详解】

因为，得，

因为，

所以，

因为三点共线，

所以，解得，

故选：B

33．如图，在△中，，是上的一点，若，实数的值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件用表示，结合共线定理的推论即可求得参数值.

【详解】

因为，又，则，

故

因为三点共线，故可得，解得.

故选：A.

34．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的共线定理可得解.

【详解】

连接，

由点是的中点，

则，

又，，

则，

又，，三点共线，则，

解得，

故选：B.

35．如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

依据三点共线得到关于的等式，再依据均值定理去求的最小值

【详解】

因为G是△ABC的重心，所以

由于M､G､N共线，所以，即

所以

（当且仅当即时取等号）

故选：D