8.4.2抛物线（针对练习）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第八章 平面解析几何8.4.2抛物线（针对练习）针对练习针对练习一 抛物线的定义及辨析1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（    ）A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线【答案】C【分析】根据抛物线的定义判断即可【详解】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故选：C．2．已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（    ）A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆【答案】C【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.【详解】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.故选：C.3．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（    ）A．7 B．5 C．3 D．1【答案】B【分析】根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可.【详解】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），设准线与纵轴的交点为，由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.故选：B.4．已知抛物线的焦点为，准线为，以为顶点的射线依次与抛物线以及轴交于，两点.若，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，得到，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线，可得且，过点分别作轴和准线的垂线，垂足分别为为，如图所示，由抛物线的定义，可得，则，则.故选:A.5．动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，所以点P到圆心的距离，令，则，令，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以的最小值为，所以，所以的最小值为.故选：B 针对练习二 抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值6．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.7．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（    ）A．3 B． C． D．5【答案】A【分析】求得直线的方程为，联立方程组求得，结合，得到，过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，当三点共线且与轴平行时，有最小值，即可求解.【详解】由题意，抛物线，可得焦点，又因为直线的倾斜角为，可得斜率，故直线的方程为，联立方程组，整理得，设，解得，，因为，所以可得，过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，所以的最小值为3.故选：A.8．已知点是抛物线的焦点，点M为抛物线上的任意一点，为平面上定点，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求出焦点坐标和准线方程，设点在准线上的射影为，由抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，由此即可求出结果.【详解】由题意得 ，准线方程为，设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知，要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，即为.所以的最小值为.故选：B.9．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．故选：B．10．已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，且点到轴的距离为，则的最小值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】先根据抛物线的定义得到点到准线的距离等于点到焦点的距离，然后由，，三点共线时,到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小求解.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，故，如图所示：当，，三点共线时,到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小，所以，故，故选：D． 针对练习三 抛物线的标准方程11．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，故选：B12．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.【详解】双曲线的右焦点到渐近线的距离为，离心率，，所以双曲线的右顶点为，对于抛物线，，所以抛物线方程为.故选：C13．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：因为，又//，，则，故可得，又△△，则，即，解得，故抛物线方程为：.故选：.14．已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义直接求出p即可.【详解】由抛物线的定义知，，解得，所以抛物线方程为，故选：A15．设抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和8，则该抛物线的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】设抛物线上一点为，根据到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和8，列方程组解之即可得解.【详解】解：∵抛物线上一点到对称轴的距离8，∴设该点为，则的坐标为∵到抛物线的焦点的距离为10，∴由抛物线的定义，得（1）∵点是抛物线上的点，∴（2）（1）（2）联解，得或，故抛物线方程为或.故选：D【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题. 针对练习四 抛物线的轨迹方程16．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足，则动点P的轨迹方程为A．y2=-8x B．y2=8x C．y2=-4x D．y2=4x【答案】C【分析】先根据MN的坐标求出|MN|然后设点P的坐标表示出关系即可得到答案．【详解】设P（x，y），x＞0，y＞0，M(-1,0),N(1,0)， 则 由，则 化简整理得y2=-4x  ．故选C．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义．向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点．也是高考常常考查的重要内容之一．在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直，既要注意它们联系，也要注意它们的区别．17．若动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,则动圆圆心C的轨迹方程是( )A． B． C． D．()【答案】C【分析】设并作轴于，由垂径定理得，又，利用两点间的距离公式化简，即可得结果.【详解】设圆心的坐标为，过作轴，垂足为，则，，，得.故选：C.18．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，由中点坐标公式列出方程，消去参数，化简即可.【详解】解：因为是抛物线的焦点，所以设，则，消去，得，即故选B.【点睛】本题考查了动点的轨迹方程，关键是要找到动点坐标满足的关系式.19．动点在抛物线上移动，若与点连线的中点为，则动点的轨迹方程为A． B． C． D．【答案】B【详解】设，因为与点连线的中点为，所以，又因为点在抛物线上移动，所以，即；故选B.【方法点晴】本题主要考查求轨迹方程的求法，属于中档题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.20．平面直角坐标系xOy中，动点P到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则P点的轨迹方程是A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：设圆心为，动点到直线的距离为，根据题意得：，可得，即：动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，根据抛物线的定义，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，设方程为，则，，所以抛物线方程为：，选A．考点：抛物线定义．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，可转化为动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用． 针对练习五 抛物线的几何性质21．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件求出点坐标，代入面积公式求解即可．【详解】已知点，设点，，又，故，故，，故选：C22．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，【详解】由题可得，因为，所以，，所以为坐标原点)的面积是.故选：A.23．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的焦半径公式可求出，然后设出点的坐标，求出点到直线的距离，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】因为抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，所以，解得，所以抛物线，设，则点到直线的距离为，所以当时距离最小，最小值为，故选：B24．已知抛物线上的点到焦点的距离为2，若点 在上，则点 到点距离的最大值为A． B． C． D．【答案】B【解析】根据抛物线焦半径得到，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离加上半径即为答案.【详解】，焦点，依题意，，故，则；由对称性，不妨设，，圆心为，， 故到点距离的最大值为.故选：B.25．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若的重心为F，则等于（    ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】先由重心坐标公式可得，再根据焦半径公式即可得结果.【详解】因为F是抛物线C的焦点，所以F的坐标为，设的横坐标为，由三角形的重心坐标公式得，再由抛物线的焦半径公式得，故选：B.【点睛】本题主要考查了重心坐标公式以及抛物线中焦半径公式的应用，属于基础题.