2023年四川省凉山州宁南县中考数学诊断试卷（5月份）（含解析）

2023年四川省凉山州宁南县中考数学诊断试卷（5月份）

一、选择题（本题共12小题，共48分）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，主视图为三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，年春运全社会人员流动量约亿人次，比年同期增长，将数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是下列说法中一定正确的是(    )

A. 甲的总环数大于乙的总环数 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定
C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 乙的成绩比甲的成绩波动小

5.  若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，已知直线，与交于点，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点，则以下推断错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若关于的不等式组只有个整数解，则整数的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：；为任意实数；若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为；若是方程的一个根，则一定有成立，其中正确的序号有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共7小题，共30分）

13.  的算术平方根等于______ ．

14.  将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是______ ．

15.  因式分解： ______ ．

16.  某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则______．

17.  如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形若，，则阴影部分的面积为______ ．

18.  已知等腰三角形的一边长，另外两边的长，恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为______ ．

19.  如图，正方形的边长为，，分别是，边上一点，且，连接，交于点，则线段的最小值为______ ．

三、简答题（本题共9小题，共72分）

20.  计算：．

21.  先化简：，再在中选取一个你喜欢的整数的值代入求值，

22.  为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，图的统计图，已知“查资料”的人数是人．
补全条形统计图；
若全校有学生人，请估计全校使用手机的目的为“玩游戏”的学生人数；
在使用手机“查资料”的学生中，恰有人每周都是使用手机分钟，其中女男，计划在这个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率．

 

23.  如图，在小山的东侧处有一热气球，由于受风力影响，它以的速度沿着与水平线成角的方向飞行，后到达处，此时热气球上的人发现热气球与山顶及小山西侧的处在一条直线上，同时测得处的俯角为在处测得山顶的仰角为，求山的高度．

24.  如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若的直径为，，求和的长．

25.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，轴，垂足为点．
求函数与的解析式；
当为何值时，；
在轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

26.  为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买，两种型号的口罩供班级学生使用，已知型口罩每包价格元，型口罩每包价格比型少元，元钱购买的型口罩比型口罩少包．
求的值．
经与商家协商，购买型口罩价格可以优惠，其中每包价格元和购买数量包的函数关系如图所示，型口罩一律按原价销售．
求关于的函数解析式；
若家委会计划购买型、型共计包其中型不少于包，且不超过包．问购买型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？

27.  如图，点、、、分别在菱形的四条边上不在端点，且满足，连接、、、，得到四边形．
求证：四边形是矩形；
设菱形边长为，，当为何值时，矩形面积最大时，最大值为多少？

28.  定义：向量，则已知，，．
当时，求函数的解析式；
当时，求函数的最小值用含的代数式表示，并求最小值的范围；
在的条件下，将中的函数图象向右移个单位，再上移一个单位，得函数的图象，记，直线过点且与函数的图象恰有三个交点，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
B、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
C、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
D、长方体的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：．
主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：各射击次，甲射击成绩的平均数是环，乙射击成绩的平均数是环，
甲、乙的总环数相同，故A说法错误，不符合题意；
甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，
乙的成绩比甲的成绩稳定，甲的成绩比乙的成绩波动大，故B说法错误，不符合题意；说法正确，符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故C说法错误，符合题意；
故选：．
根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选B．
根据得到，从而求得答案．
本题考查了绝对值的求法，解题的关键是了解非正数的绝对值是它的相反数，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：设清酒斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：．
根据共换了斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿斗谷子，共换了斗酒，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，是的外角，
，
，
．
故选：．
由三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，
，
．
，
．
平分，
．
．
故选项B正确；
．
．
故选项A正确；
，
故选项C正确；
在中，，
又，
故选项D错误．
故选：．
根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了顶角为的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：于，
，
在中，，
，
，

故选：．
在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂径定理解答即可．
本题考查了垂径定理的应用，正确解直角三角形是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组只有个整数解，
不等式组的整数解为、、，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据确定不等式组的整数解情况得到关于的不等式，解之求出其范围可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿直线折叠，
，，
，
，
∽，
，
，
，
设，
则，，
，
在中，，
，
解得：或舍去，
，
故选：．
证明∽，求得，设，则，，由勾股定理列出方程即可求解．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交于点，，
对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，故正确；
对称轴为直线，开口向下，
时，有最大值，最大值为，
为任意实数，
即，故正确；
对称轴交轴的正半轴于点，
，
由对称性可知，
，故不正确；
抛物线与轴交于点，
，
，
，
，
，
是方程的一个根，
，，
当时，，
当时，，
若是方程的一个根，则一定有成立，故正确；
故正确的为：．
故选：．
利用待定系数法，二次函数的性质，两点之间线段最短逐一判断即可．
本题考查二次函数图象和性质，解决本题关键是运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴交点进行计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
则的算术平方根等于．
故答案为：．
直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：向右平移个单位，再向上平移个单位后，
得到：，即，
顶点坐标为．
故答案为：．
根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用十字相乘法的分解方法和特点进行解答．
本题主要考查十字相乘法分解因式，对的不同分解是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率的求解公式列出方程，属于基础题．
根据原价为元，连续两次涨价后，现价为元，根据增长率的求解方法，列方程求．
【解答】
解：依题意，有：，
，
解得：或舍去．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积，扇形的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积扇形的面积．
故答案为：．
连接，由是的中点，得到，推出，得到，求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，平移的性质，关键是掌握扇形面积的计算公式．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先算二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：原式，
，
，
，
，
，，
，
取，
原式． 

【解析】首先计算分式的除法，再算分式的加法，化简后，再确定的值，代入即可．
此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确把分式进行化简．
 

20.【答案】解：被调查的总人数为人，
所以小时以上的人数为人，
补全图形如下：

人，
答：估计全校使用手机的目的为“玩游戏”的学生人数为人；
设这个学生中，名女生分别记为，，名男生记为，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选两个学生中有一个男生的结果有：，，，，共种，
所选两个学生中有一个男生的概率为． 

【解析】用“查资料”的人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，求出每周使用手机的时间在小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可；
总人数乘以样本中使用手机的目的为“玩游戏”的学生人数所占比例即可；
画树状图得出所有等可能的结果数和所选两个学生中有一个男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作于，过点作于，

由题意得：，，
则，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
答：与间的距离为，山高为 

【解析】过点作于，过点作于，根据正弦的定义求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，设，用表示出、，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
．
，
．
，

即
是的直径，
直线是的切线；

解：过点作于．
，，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
． 

【解析】连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明．
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．
 

23.【答案】 

【解析】解：若为腰，则、中还有一腰，即是方程的一个根，
，
，
这时方程为，
其根为、，
的周长为；
若为底，则，即方程有两个相等的实根，
，
解得：，
这时方程为，
，
但不能围成三角形，
综上可得：的周长为．
故答案为：．
分为腰和为底边两种情况分类讨论即可确定三角形的周长，注意运用三边关系进行验证．
本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．
 

24.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的半圆，
设的中点为，
，

连接，则的最小值为．
，
的最小值为．
故答案为：．
利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的性质得到，从而得出点的运动轨迹为以为直径的半圆，连接，则此时的值最小．利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，点的运动轨迹，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最小值，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象经过，
，
解得：，
点，
经过、，
，
解得：，，
；

观察图象知：为或时，；

如图：，
，
当以为底边时，由∽，
，
即：，
解得：，
点的坐标为；
当以为腰以为顶点时，
，
此时点的坐标为；
当以为腰以为顶点时，
，
此时点的坐标为，点的坐标为； 

【解析】首先将点的坐标代入反比例函数的解析式求得反比例函数的解析式，然后将点的坐标代入求得点的坐标，从而利用待定系数法确定一次函数是的解析式即可；
根据求得的点和点的坐标结合函数的图象确定自编量的取值范围即可；
分以为底边、以为腰且以为顶点和以为腰且以为顶点三种情况确定点的坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合知识，题目中涉及到了待定系数法确定反比例函数和一次函数的解析式及分类讨论的数学思想，知识点较多，难度较大．
 

26.【答案】解：由题意可得，
，
解得，，舍去，
经检验，是原分式方程的解，
即的值是；
由图象可得，
当时，，
当时，设，
，得，
即当时，，
当时，，
由上可得，与的函数关系式为；
设购买型口罩包，则购买型口罩包，购买的总金额为元，
当时，
，
当时，取得最小值，此时，
当时，
，
，
随着的增大而增大，
，
由上可得，购买口罩的最小金额为元，
答：购买型口罩包时，购买口罩的总金额最少，最少为元． 

【解析】根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到的值；
根据函数图象中的数据，可以得到关于的函数解析式；
根据题意和中的结果，可以得到购买型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元．
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
 

27.【答案】证明：连接，，

，
，
又，
∽，
，
，
同理：，，，
，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
即：，
平行四边形为矩形．
解：连接，设与交于点，

四边形为菱形，边长为，
，
又，
为等边三角形，
，
由可知：，
为等边三角形，
，
设，则，
四边形为菱形，四边形为矩形，
点，关于对称，
，即：，
在中，，，
，
，
设矩形的面积为，
则，
整理得：，
当时，有最大值，最大值为． 

【解析】连接，，首先根据得出，由此可判定∽，从而得出，同理证，，，据此可判定四边形为平行四边形，然后再根据菱形的性质得，进而可得出结论；
连接，设与交于点，先证和均为等边三角形，设，然后求出，，再设矩形的面积为，从而可得出关于的二次函数，最后求出二次函数的最大值即可．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，及二次函数的最值等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，难点是设，正确的利用表示出矩形的面积是关键．
 

28.【答案】解：当时，，，
，
函数的解析式为；
，，
，
对称轴为直线，
当，即时，若，则随的增大而增大，
当时，；
当即时，若，则对称轴处取最值，
当时，；
当即时，若，则随的增大而减小，
当时，，
综上所述，；
由知，，
平移后的解析式，
令，则，
解得，，
与轴的交点为，，
，
的图象如图所示：

当直线经过点时，设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
当直线过点时，直线与由三个交点；
当直线经过点时，设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得，
，
联立方程组，
解得，
此时直线和抛物线，在范围内只有一个交点，
当直线过点时，直线与有两个交点；
当直线与相切时，设直线的解析式为，
当时，
整理得：，
，
，
在直线上，
，
把代入得：，
解得或，
或，
直线的解析式为或，
当直线的解析式为时，直线和抛物线的切点为，与抛物线只有两个交点，不合题意；
综上所述，直线的解析式为或． 

【解析】根据定义计算即可；
求出对称轴为直线，再分当时，当时，当时三种情况讨论，分别求出解析式，然后写成分段函数解析式，分别求出不同范围下的范围，再把所得范围合并即可；
先求得函数的图象与轴的两个交点，，接着分以下三种情况讨论，即可：直线经过点，此时在点的右侧必有一个交点，因此在上还需要有一个交点；直线经过点，此时在点的左侧必有一个交点，因此在上还需要有一个交点；直线与抛物线在上有一个使得联立方程组并消去后的一元二次方程的交点这个交点可称之为切点．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式，利用函数的性质解答．