2023年湖北省襄阳市枣阳市中考数学适应性试卷（含解析）

2023年湖北省襄阳市枣阳市中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某个几何体的三视图如图所示，该几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，直线与，分别交于点，，交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在▱中，是的平分线交于点，且，▱的周长是，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 掷一次骰子，向上一面的点数是
B. 在平面上画一个矩形，这个矩形一定是轴对称图形
C. 在一副扑克牌中抽取一张牌，抽出的牌是黑桃
D. 射击运动员射击一次命中靶心

8.  关于反比例函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象位于第一、第三象限
C. 当时， D. 当时，随的增大而增大

9.  矩形具有而菱形不具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

10.  一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  年春节假期，襄阳旅游市场强劲复苏，实现了爆发式增长，全市共接待游客人次，较年同比增长将数字用科学记数法表示为______ ．

12.  不等式组的解集是______．

13.  即将举行的年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上个吉祥物图案的卡片卡片的形状、大小、质地都相同背面朝上、洗匀若先从中任意抽取张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取张，两次抽取的卡片图案相同的概率是______ ．

14.  从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：米与小球运动时间单位：秒的函数关系式是小球抛出______ 秒后开始下落．

15.  的半径为，，是的两条弦，，，则和之间的距离______．

16.  如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接，将沿翻折得到，连接若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
某学校为了解该校七、八两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，决定从七、八年级各随机抽取名学生进行垃圾分类知识测试，满分分，成绩整理分析过程如下：
【收集数据】七年级名学生测试成绩统计如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理、描述数据】七年级名学生测试成绩频数分布直方图每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为：

八年级名学生测试成绩频数分布表：

【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数方差如表所示：

根据以上提供的信息，解答下列问题：
补全七年级名学生测试成绩频数分布直方图；
统计表中， ______ ， ______ ， ______ ；
从样本数据分析看，分数较整齐的是______ 年级；填“七”或“八”．
如果该校七年级、八年级各有名学生，估计全校八年级垃圾分类知识测试成绩在分及以上的有______ 人；

19.  本小题分
图是某种路灯的实物图，图是该路灯的平面示意图为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于点，，灯臂与支架交于点已知，，，求灯臂的长结果精确到；参考数据：，，

20.  本小题分
如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点．
过点作于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
求证．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
当为何值时，方程有两个实数根；
若方程两个根，，满足，则的值为多少？

22.  本小题分
如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，交于点，过点作分别交，的延长线于点，．
求证：是的切线；
若，，求劣弧的长．

23.  本小题分
某体育用品专卖店计划购进，两种型号的篮球共个已知型、型篮球的进价和售价如下表所示：

型篮球购进数量不少于个不多于个设型篮球的销售总金额为元，型篮球的销量为个．
直接写出与之间的函数关系式及的取值范围；
假设该专卖店购进的个，两种型号的篮球全部售完，总获利为元求与之间的函数关系式，并求该专卖店购进型，型篮球各多少个时，才能使获得的总利润最大？最大利润为多少元？
为回馈社会，鼓励人民群众积极参加体育锻炼，在中获得最大利润的进货方案下，该专卖店决定每销售一个型、型篮球分别拿出元和元，捐赠给某体育公益基金会若这个篮球全部售出后所获总利润不低于元，求的最大值．

24.  本小题分
【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点是边上一个动点不与重合，且，，连接．

【特例分析】
如图，当，时猜想与之间的数量关系，并说明理由；并求出的度数．
【拓展探究】
如图，当，时请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．
【学以致用】
如图，当，，，时，求的长．

25.  本小题分
如图，平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，顶点为的抛物线交轴于点．

如图，若时．
直接写出抛物线的解析式、直线的解析式，求出点，的坐标；
当时，的最大值为，求的值；
当抛物线与线段有两个交点时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选：．
根据几何体的三视图判断即可．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，整式的除法的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】

解：、，故错误；
B、，故错误；
C、正确；
D、，故错误；
故选C．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
交于点，
，
，
故选：．
根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，
故选：．
设共有人，辆车，由每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行列方程可求解．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的平分线，
，
，
，
，
，
▱的周长是，
，
，
则，
故选：．
根据是的平分线和，求出，根据▱的周长是，求出，得到的长．
本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项掷一次骰子，向上一面的点数是属于随机事件，所以选项不符题意；
选项在平面上画一个矩形，这个矩形一定是轴对称图形属于必然事件，所以选项符合题意；
选项在一副扑克牌中抽取一张牌，抽出的牌是黑桃属于随机事件，所以选项不符题意；
选项射击运动员射击一次命中靶心属于随机事件，所以选项不符题意；
故选：．
根据必然事件的定义进行分析即可．
本题主要考查的是必然事件和随机事件等知识内容，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，故A错误，不符合题意；
，图象位于第二、第四象限，故B错误，不符合题意；
当反比例函数的增减性要考虑分界点，故C错误，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故D正确，符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质逐个判断即可得到答案．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几个性质．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据矩形好菱形的性质，容易得出结论．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质；熟练掌握矩形和菱形的对角线上的性质是解决问题的关键．
【解答】

解：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
根据矩形和菱形的性质得出：矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等；
故选A．
 

10.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合；
当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：．
根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：，，为整数的位数减．
本题考查了科学记数法；解题的关键是掌握科学记数法公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：
由得，
由得
不等式组的解集为，
故答案为．
分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

13.【答案】 

【解析】解：把“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
即，
当时，有最大值，
即秒后小球开始下落，
故答案为：．
小球达到最高点后开始下落，依据小球的高度与小球运动时间的函数关系式是二次函数关系式，所以可根据求二次函数最值的方法求解．
本题考查了二次函数的实际应用，解本题的关键是把实际问题转化成数学问题．
 

15.【答案】或 

【解析】解：作于，交于，连结、，如图，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
当圆心在与之间时，；
当圆心不在与之间时，；
即和之间的距离为或．
故答案为或．
作于，交于，连结、，如图，根据平行线的性质得，再利用垂径定理得到，，接着根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，然后分类讨论：当圆心在与之间时，；当圆心不在与之间时，．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，连接、，

四边形为正方形，
，
∽，
，
，即点为的中点，
，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
，
解得：．
故答案为：．
延长交于点，连接、，易得∽，根据相似三角形的性质可得，进而得到，由折叠可知，，于是，，根据直角三角形斜边上的中线逆定理可得，由同角的余角相等可得，进而得到，则可证∽，由相似三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题是解题关键．
 

17.【答案】解：


，
当，时，
原式． 

【解析】先通分化简括号里的分式，再约分化到最简，将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】      八   

【解析】解：七年级分的人数为，
补全频数分布直方图如下：

统计表中，，，．
故答案为：，，；
因为八年级的方差比七年级的小，所以分数较整齐的是八年级．
故答案为：八；
名，
即估计全校八年级垃圾分类知识测试成绩在分及以上的有人．
故答案为：．
求出七年级分的人数即可补全频数分布直方图；
用减去其他等级的人数可得分的人数，再根据中位数、众数的定义求解即可；
根据方差的意义解答即可；
用乘样本中成绩在分及以上所占百分百即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确判断的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，
，

，，，
，
．
在中，，
，
答：支架的长约为． 

【解析】过点作于点，则，然后根据三角函数即可求得答案．
此题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：如图：即为所求；

，是矩形的对角线，
．
，，
．
又
≌．
． 

【解析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；
先证明证明≌，再根据全等的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
又原方程有两个实数根，
，
解得，
即实数的取值范围是；
根据根与系数的关系得到，，
，
，即，
整理得：，
，，
由知，，
应舍去，
即：． 

【解析】方程有两个实数根，必须满足，由此可以得到关于的不等式，然后解不等式即可求出实数的取值范围；
根据根与系数的关系得到，，而，所以，代入，然后解关于的方程即可．
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．和考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
 

22.【答案】证明：连接交交于，

，
．
，
．
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：为直径，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，设，则，
由，即，
解得，
由，
，
，
，
劣弧长 

【解析】对于，连接，根据角平分线定义及等边对等角得出，即可得出，进而得出，可得答案；
对于，先证明四边形是矩形，再求出，然后根据勾股定理求出，即可求出，最后根据弧长公式计算即可．
本题主要考查了切线的判定，勾股定理，弧长公式，垂径定理，特殊角三角函数等，构造直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：依题意得：
当时，；
当时，．
与之间的函数关系式及的取值范围为：
，
当时，
，
因为，所以随的增大而增大，
当时，有最大值，
即．
当时，
，
因为，所以随的增大而减小，
由为正整数，
当时，有最大值，
即．
，
该专卖店购进型篮球个，型篮球个时，可获得总利润最大，最大利润为元．
解：．
解得．
的最大值是． 

【解析】由题意，分类讨论：当时、当时，分别求出与之间的函数关系式即可；
由题意，分类讨论：当时、当时，分别求出与之间的函数关系式，并根据一次函数的增减性求出最大利润；
由已知、根据“这个篮球全部售出后所获总利润不低于元”得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，，
，
，
，
≌，
，；
，，理由如下：
，，
∽，
，
，
，
∽，
，；
过作于，如图所示，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
即．

解得：． 

【解析】由“”可证≌，可得，；
通过证明∽，可得，；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
抛物线的解析式为：，
顶点为的抛物线交轴于点．
当时，，
的坐标为，
，
的坐标为．
点，的坐标分别为，，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
解得，
直线的解析式为，
答：抛物线的解析式为，直线的解析式为，的坐标为，的坐标为．
抛物线对称轴为直线，
当时，即，时，的最大值为，
此时，
解得或舍去；
当时，有两种情况：
当时，，函数值最大，，
此时，则，
解得舍去；
当时，，函数值最大，，
此时，则 ，
解得，舍去；
当，即时，时，的最大值为，
，
解得舍去，
的值为或．
答：的值为或．
抛物线，
，即抛物线的对称轴为直线．
当时，把代入中，得，
当时，抛物线与线段不可能存在两个交点．
当时，抛物线与有一个交点时，得，
整理得，，
，解得，
把代入得，，解得，
综上，当抛物线与线段有两个交点时，的取值范围是且．
答：当抛物线与线段有两个交点时，的取值范围是且． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
分情况讨论：、两种情况，求解即可．
利用抛物线与直线的交点的求法进行解答即可．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想方法．