2023年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列说法错误的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 一组数据，，，，的众数是，中位数是
C. 一组数据，，，，的平均数是，方差是
D. “人中至少有人的生日是同一天”是必然事件

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知第三象限的点，那么点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在“长沙美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“长沙臭豆腐”“刮凉粉”“糖油粑粑”“口味蟹”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某校准备修建一个长方形活动场地，长比宽多，总面积为，若设场地的宽为，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，是直角，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，、是的两条相交弦，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与，分别交于点，点，连结当，时，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  分式方程的解为______ ．

13.  如图，是的直径，且，弦于点，，连接，则 ______ ．

14.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值为______ ．

15.  为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞条，若其中有标记的鱼有条，则估计池塘里有鱼        条

16.  若一个四位数的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“伙伴数”将“伙伴数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记若四位数为整数为“伙伴数”，且能被整除，令，则在所有满足条件的“伙伴数”中，的值最小的“伙伴数”为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
如图，沿方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点取，米，那么另一边开挖点离多远正好使、、三点在一直线上，结果精确到米？

20.  本小题分
课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
王老师一共调查了多少名同学？
类女生有______名，类男生有______名，将条形统计图补充完整；
为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

 

21.  本小题分
如图，在中，是边上的中线，于点，于点，且．
求证：≌；
．

22.  本小题分
某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．
求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，求专卖店共有几种采购方案．
若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是元，元，则在的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．

23.  本小题分
如图，在▱中，，，．
求的长；
求的面积．

24.  本小题分
如图，、均为的直径，，交于点，且，与的交点为．
求证：；
连接，若，求证：是的切线；
在的条件下，连接，交于点，求的值．

 

25.  本小题分
抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
求抛物线解析式；
如图，连接，点在线段上，作直线轴，与抛物线交于点以线段为边构造矩形，边在轴上．
当矩形周长最大时，求点坐标．
在的条件下，点在第四象限内，作射线，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面可看，左上有一条横向的实线．
俯视图是
故选：．
根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．
本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，说法正确，不符合题意；
B、一组数据，，，，的众数是，中位数是，说法正确，不符合题意；
C、一组数据，，，，的平均数是，方差是，故本选项说法错误，符合题意；
D、“人中至少有人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、根据合并同类项法则计算；
B、根据积的乘方法则计算；
C、根据二次根式的加减法法则计算；
D、根据同底数幂的乘法法则计算．
本题主要考同底数幂的乘法、二次根式的加减法、积的乘方、合并同类项，掌握这几个知识点的法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离为．
故选：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：记“长沙臭豆腐”“刮凉粉”“糖油粑粑”“口味蟹”四种美食分别为：，，，，画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种美食有种可能，
两人恰好选中同一种美食．
故选：．
用列表法和树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两人恰好选中同一种美食的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设宽为米，则长为米，
根据题意得：，
故选：．
根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：是直角，
，
，


，
故选B．
直接根据平角的定义进行求解即可．
本题主要考查了几何中角度的计算，熟知平角的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
为等边三角形，
，
故选：．
圆周角定理和已知得出，证出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
本题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
的周长．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用等线段代换得到的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使在实数范围内有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
去分母后化为整式方程求解，后检验即可．
本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：弦，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理求出，根据勾股定理及线段的和差计算即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得．
故答案为：．
由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于的方程，则可求得的值．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：捕捞条，其中有标记的鱼有条，
在样本中有标记的所占比例为，
池塘里鱼的总数为条．
故答案为：．
捕捞条，其中有标记的鱼有条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有条，根据所占比例即可解答．
本题主要考查了通过样本去估计总体，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，，
，
由题意得：是的倍数，
，
，

，或或，不符题意，舍去或不符题意，舍去，
这个是可能是，，，，
，
当伙伴数为时，为最小，
故答案为．
本题通过给出的新定义：伙伴数，通过来用、、、表示，通过分析可以被整除，来得到，通过讨论得到对应的、、、的值．
本题主要考查整式的计算，通过新定义，来推导对应的关系，用、、、来表示，通过讨论，求出最终的解．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】根据乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义，进行计算即可．
本题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义准确计算．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为． 

【解析】先解每个不等式，再求两个不等式解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，
在中，，，
，
在中，根据勾股定理得，，
答：另一边开挖点离约，正好使，，三点在一直线上． 

【解析】由，结合，可证，根据含角的直角三角形的性质，可得，从而求得的长，在中，根据勾股定理，即可求出的长．
本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质的应用．
 

20.【答案】名．
所以王老师一共调查了名学生．
； 
补充条形统计图如下：

由题意画树状图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学． 

【解析】

解：见答案
类学生人数：名
类女生人数：名，
类学生占的百分比：，
类学生人数：名，
类男生人数：名，
故C类女生有名，类男生有名；
补充条形统计图见答案；
见答案
【分析】
根据类有人，所占的比例是，据此即可求得总人数；
利用中求得的总人数乘以对应的比例即可求得类的人数，然后求得类中女生人数，同理先求得所占百分比，进而求得类男生的人数；
利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表或画树状图求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

21.【答案】证明：是边上的中线，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
是边上的中线，
． 

【解析】根据中点的定义得到，利用证明≌；
根据全等三角形的性质得到，则，根据等腰三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，
由题意得：，
解得，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元；
设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，
或或，
专卖店共有种采购方案；
当，时，利润为：元；
当，时，利润为：元；
当，时，利润为：元；
，
利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元． 

【解析】设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意：只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意：专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论；
分别求出种采购方案的利润，再比较即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

23.【答案】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
；
四边形是平行四边形，
，

的面积． 

【解析】由平行四边形的性质得出，由勾股定理可得出答案；
求出，由三角形面积公式可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

是直径
，且
垂直平分

如图，连接

、均为的直径，，
，


，，


设，
，
，
，

，
，且
∽
，且是半径
是的切线；
连接，交于点





∽



 

【解析】连接，由圆周角定理可得，可证垂直平分，可得；
连接，通过证明∽，可得，即可得结论；
由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明∽是本题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得，抛物线的表达式为：；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则矩形的周长，
，故矩形的周长有最大值，此时，
即点；

由知，点的坐标为，则，
当时，，
故，
故矩形为正方形，如图，

连接、、，设交于点，
由正方形轴对称性知，，，
，
，
设交轴于点，即，
在等腰中，，则，
由点、的坐标得，，
则，
过点作于点，
在中，，
设，则，
在中，，，
则，
则，
则，
则，
则，
则． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由矩形的周长，即可求解；
证明矩形为正方形，得到，进而求解．
本题考查了二次函数综合运用，考查了矩形和正方形的判定和性质、解直角三角形等知识，综合性强，难度适中．