2022-2023学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果反比例函数图象经过点，则这个反比例函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一组数据，，，，，的平均数是，则这组数据的众数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设(    )

A.  B.  C. 与相交 D. 与相交

6.  电影流浪地球于年月日在中国上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图菱形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边延长线上的处，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，分别过反比例函数图象上的点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，连结，，，再以，为一组邻边画一个平行四边形，以，为一组邻边画一个平行四边形，以此类推，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形的外部有四个全等的直角三角形，分别为，，，，连结，交于点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  使二次根式有意义的的取值范围是______．

12.  一个五边形的内角和是______ ．

13.  在中，点、分别是，的中点，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若，，则的长为______ ．

14.  已知关于的方程的两个根分别为和，则的值为______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点，经过点的反比例函数的图象交于点，连结，，若点是中点，的面积为，则的值为______ ．

16.  如图，四边形为矩形，连结，将矩形绕点旋转至矩形使得边经过中点，并交于点，若，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点、均在格点上在图中画一个以线段为对角线的正方形，点、为格点；
在图中画一个以线段为边且面积为整数的平行四边形，点、为格点．

19.  本小题分
为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图成绩均为整数，满分为分．
甲组成绩统计表

______ ；甲组成绩的中位数______ 乙组成绩的中位数填“”“”或“”；
求甲组的平均成绩；
计算出甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则成绩更加稳定的是______ 组填“甲”或“乙”．

20.  本小题分
如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
求证：四边形是平行四边形；
若，若，，求四边形的面积．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，点坐标为．
分别求出，的值；
连结、，求的面积；
根据图象，直接写出不等式的解集．

22.  本小题分
某商店从工厂购进、两款玩具，进货价和销售价如表：

该商店用元从工厂进货、两款玩具共件，求两款玩具分别购进个数；
商店销售第一天，款玩具便已售完，款玩具只售出件，因此商家决定对款玩具降价销售，经调查发现，款玩具每下降元，平均每天可多销售件，要想第二天款玩具的利润为元，则商家需降价多少元？

23.  本小题分
在正方形中，、为平面上两点．
【基础巩固】
如图，当点在边上时，，且，，三点共线，求证：；
【类比应用】
如图，当点在正方形外部时，，，且、、三点共线，若，，求点到直线的距离；
【拓展迁移】
如图，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点，若，，求正方形的边长．

 

24.  本小题分
将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点，点．
如图，在上取一点，将沿折叠，使点落至边上的点，求、的长度；
如图，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点，交于点，求证：；
在的条件下，设，当时，为坐标轴上一点，在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
函数经过点，
．
反比例函数解析式为．
故选：．
设反比例函数解析式为，把点代入即可求得的值．
本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
．
故选B．
本题主要考查配方法解一元二次方程．
把方程的常数项移到右边，然后左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的选项即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，，的平均数是，
，
解得，
所以这组数据为，，，，，，
则这组数据的众数为，
故选：．
先根据算术平均数的定义列方程求出的值，再依据众数的定义得出答案．
本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

6.【答案】 

【解析】解：某地第一天票房约亿元，且以后每天票房的增长率为，
第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
依题意得：．
故选：．
由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
故选：．
根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，根据根的判别式得出关于的不等式是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
将沿翻折，点恰好落在边延长线上的处，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由四边形是菱形，得，，，根据将沿翻折，点恰好落在边延长线上的处，可得，，即得，，故，．
本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，求出．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，在反比例函数图象上，
，；
；
又四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标是：，即点的坐标是；
同理求得，点的纵坐标是：；即点的坐标是；
点的纵坐标是：；

点的横坐标为：，纵坐标是：；
点的坐标是
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点、的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点的横坐标为，纵坐标是、的横坐标为，纵坐标是、的横坐标为，纵坐标是，据此可以推知点的横坐标为，纵坐标是：．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点的纵坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设、交于点，连接，

≌≌≌，
，，
由，得为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
：：，
：：，
：：，
：：，
：：：，
，
：：，
：：，
故选：．
设、交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，得到，：：，推导出与的比，即得出与的比，即可解答与的比．
本题考查了矩形、平行四边形、三角形全等相关知识点的应用，同高三角形的面积比的应用是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据正多边形内角和公式：，
故答案为：．
利用多边形的内角和：进行计算即可．
此题主要考查了正多边形内角和，关键是掌握内角和的计算公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：点、分别是，的中点，
是的中位线，
，
由尺规作图可知：，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、基本尺规作图，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两个根分别为和，
，，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作、轴，作轴，
设点，
，，
为等边三角形且，
，
矩形中，，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用反比例函数的几何意义，表示出点的坐标的关系，利用的面积，求出点的坐标的积，从而求出答案．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的“三线合一”和中位线的应用是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，连接，，，

四边形为矩形，点对角线的中点，
经过点，，，
，，
由旋转的性质可知：，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
设，，
，，
，，
，，
为平行四边形的对角线，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
故答案为：．
延长较交于点，连接，，，先证和全等，得出，再证和全等，得出，进而证四边形为平行四边形，得出，设，，则，，，，，，根据得，由此得，进而得，，然后在中利用勾股定理求出，据此可得出答案．
此题主要考查了矩形的性质，图形的旋转及其性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．
 

17.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式即可；
先把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．
 

18.【答案】解：如图中，正方形即为所求；
如图中，四边形即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据正方形的定义画出图形；
根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形．
本题考查作图应用与设计作图，正方形的判定，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

19.【答案】    乙 

【解析】解：由题意可得：，
解得，
甲组成绩一共有个，从小到大最中间为和，则中位数为，
乙组成绩的中位数为，
所以甲组成绩的中位数乙组成绩的中位数，
故答案为：，；
甲组的平均成绩为，
，
乙组的成绩更加稳定．
故答案为：乙．
由各分数人数之和等于可得的值，根据中位数的定义求出甲、乙组中位数即可得出答案；
根据加权平均数的定义求解即可；
根据方差的意义求解即可得出答案．
此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．
 

20.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
，，
，
平行四边形是菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积． 

【解析】证≌，得，再由，即可得出结论；
由等腰三角形的性质得，则平行四边形是菱形，再由勾股定理求出，则，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
 

21.【答案】解：将代入一次函数得，，
点为，
将点代入反比例函数得，，
，；
由得，反比例函数表达式为，
解得或，
点的坐标为，
设点为一次函数的图象与轴的交点，则，
；
由图象可得：不等式的解集为或． 

【解析】由一次函数解析式求得的值，从而求得的坐标，代入即可求得的值；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标，利用一次函数解析式求出点坐标，再根据可得结果；
根据图象即可求得．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据点的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购进款玩具件，款玩具件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款玩具件，款玩具件．
设商家需降价元，
依题意得：．
解得．
答：商家需降价元． 

【解析】设购进款玩具件，款玩具件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款玩具共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设商家需降价元．根据销售利润销售数量列出方程并解答．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

解：猜想：．
理由：如图，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
过点作于，
，
，
即点到直线的距离为；

解：如图中，连接，取的中点，连接，．

四边形是正方形，，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，
即正方形的对角线的长为． 

【解析】证明≌，可得结论．
猜想：如图中，证明≌，推出，，最后用三角形的面积求解，即可求出答案．
如图中，连接，取的中点，连接，证明，最后构造直角三角形，即可求出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用建模的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：点，点，
，，
将沿折叠，使点落至边上的点，
，，
，
，
，
，
；
证明：将沿折叠，使点落在边上的点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，

当时，则，
，
，
，
由可知：，
，
点，
当为对角线时，点与重合，，
点，
为边时，设点，
四边形是平行四边形，
，
，
直线的解析式为，
，
点坐标，
当点在第四象限点时，四边形是平行四边形时，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
当时，，
点，
设点
点，点，点，
，，
点，
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或，或 

【解析】由折叠的性质可得，，由勾股定理可以求出的长，的长；
由折叠的性质可得，，由平行线的性质可得，即可求解；
分为对角线，为边两种情形讨论即可．
本题考查四边形综合题，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．