2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷(含答案)
展开这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷(含答案),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷
一、选择题(在10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列各数中是无理数的是( )
A.2023 B. C. D.
2.下列根式中与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一,位于三一大道与营盘路之间,总投资53.278亿元.其中数据53.278亿元精确到哪位?( )
A.万位 B.十万位 C.百万位 D.亿位
4.如图是由4个大小相同的正方体组成的几何体,下列说法正确的是( )
A.主视图与左视图一样 B.主视图与俯视图一样
C.左视图与俯视图一样 D.三视图都不一样
5.如图,掷飞镖游戏中,掷中阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
6.正六边形的半径为4,则它的边心距是( )
A.2 B.4 C.2 D.2
7.已知一组数据为8,10,12,14,8,8,10,则这组数据的众数是( )
A.8 B.10 C.12 D.14
8.2023年3月16日,“泰国3•15开摘节”采摘的榴莲抢“鲜”人湘,标志着长沙一曼谷定期国际货运航线正式通航,长沙一曼谷的航线距离是3600km,往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1小时,设飞机在静风中的速度为xkm/h,风速为30km/h,则可列方程( )
A. B.
C. D.
9.二次函数y=(x﹣2)2+1的图象向右平移1个单位,得到的图象对应的函数表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x﹣3)2+1 C.y=(x﹣2)2 D.y=(x﹣2)2+2
10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规分别以A,B为圆心,大于的长为半径画弧相交于两点,连接交点,交AB于点D,下列说法不一定正确的是( )
A.AD=CD B.∠ACD=∠BCD C.∠DCB=∠CBD D.AD=DB
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.因式分解:4a2+4a+1= .
12.一元一次方程2x﹣m=2023的解为x=1012,则m= .
13.如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,点C是AB的中点,连接OC,则OC的长为 .
14.长沙市马栏山视频文创园滨河路与枫林塘路交会处,有一棵300多岁的古樟树,类似于圆柱体的树木主干高3m需要刷保护料,树干的半径为0.8m,则需粉刷的面积是 m2 (结果保留π).
15.反比例函数的图象如图所示,则k的取值范围是 .
16.如图,已知在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上,G、H分别在AC、AB上,则内接矩形EFGH的最大面积为 .
三、解答题(本大题共9个小题,其中17、18、19题每小题6分,2的立生说明、证明过程
17.计算:.
18.解不等式组.
19.如图,在平行四边形ABCD中,DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA,分别交AB、CD于点E、F.
(1)若∠DAB=60°,求∠DFB的度数;
(2)求证:四边形DEBF是平行四边形.
20.“你点我检”活动从2023年2月20日开始,市场监管部门通过抽检品种和抽样场所了解情况.以下是10名检测员对某学校的甲、乙两个食堂进行打分调查的统计结果:
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
甲
6
6
8
9
10
10
6
7
8
10
乙
8
7
7
9
10
9
8
8
7
7
(1)根据以上数据,将下面表格补充完整:
类型分数
6分
7分
8分
9分
10分
甲频数
1
1
3
甲频率
0.1
0.1
0.3
乙频数
0
3
1
乙频率
0
0.3
0.1
(2)分别求出甲、乙食堂打分的平均数;
(3)从稳定性角度分析,学生应该选哪个食堂用餐比较合适.
参考公式.
21.长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心,是旅游打卡圣地,小明想了解它的具体高度,通过下面方法进行测算.如图,小明站在楼前的平地B处,观测到国金大厦的最高点G仰角为15°,他朝正前方笔直行走900.8米来到C处,此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°,若小明的眼睛离地面1.6米.
(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度DG;
(2)小明还要走多远(CD的距离)才能到达国金大厦?
22.小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花,在“母亲节”祝福妈妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元,3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元?
(2)小美准备买康乃馨和百合共11支,且百合不少于2支.设买这束鲜花所需费用为w元,康乃馨有x支,求w与x之间的函数关系式,并设计一种使费用最少的买花方案,写出最少费用.
23.如图,四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,对角线AC、BD相交于点O.
(1)求BD的长;
(2)点F是AB上一点,过点F分别作两条对角线的垂线段,垂足分别是M、N,求FM+FN的值.
24.我们不妨约定:函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)与x轴、y轴交点和原点构成图形是等腰直角三角形时的函数称“M函数”,等腰直角三角形中除掉原点外的两个顶点称“M点”,例如:函数y=x2﹣x﹣2与x轴交于点A(﹣1,0)、B(2,0),与y轴交于C(0,﹣2),△BOC是等腰直角三角形,则y=x2﹣x﹣2是“M函数”,其中B、C是“M点”.
(1)若一次函数y=kx+2023是“M函数”,求k的值,并求出“M点”;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a>0,c<0)是过A(1,0)的“M函数”、与x轴交于点B,与y轴交于点C,B、C为“M点”,过点C作直线l平行于x轴,D是直线l上的动点,E是y轴上的动点,ED=2.
①当点D落在“M函数”上(不与点C重合),且AD=DE时,求点D的坐标;
②取ED的中点F,当c为何值时,BF的最小值是?
25.如图,已知圆O是四边形ABCD的外接圆,BD是直径.连接AC交BD于点E.
(1)如图1,D是弧AC的中点,当∠CAD=25°,求∠ABD的度数;
(2)如图2,AB=AD,将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△ABC′,其中AD与AB重合,求证:AB2=AC2﹣BC•BC';
(3)如图3,AB=AD,F是AD的中点,连接BF,过D点作DM⊥AD交AC于点M,当BF⊥AC时,求的值.
参考答案
一、选择题(在10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列各数中是无理数的是( )
A.2023 B. C. D.
【分析】运用无理数的定义进行逐一辨别、求解.
解:∵2023是有理数,
∴选项A不符合题意;
∵是分数,是有理数,
∴选项B不符合题意;
∵是无理数,
∴选项符C合题意;
∵=3,它是有理数,
∴选项D不符合题意,
故选:C.
【点评】此题考查了无理数的辨别能力,关键是能准确理解并运用无理数的定义.
2.下列根式中与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可.
解:A、与不是同类二次根式,不符合题意;
B、与不是同类二次根式,不符合题意;
C、与不是同类二次根式,不符合题意;
D、==2,与是同类二次根式,符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
3.湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一,位于三一大道与营盘路之间,总投资53.278亿元.其中数据53.278亿元精确到哪位?( )
A.万位 B.十万位 C.百万位 D.亿位
【分析】根据近似数的精确度求解.
解:数据53.278亿精确到的位数是十万位.
故选:B.
【点评】本题考查了近似数和有效数字:近似数与精确数的接近程度,可以用精确度表示.一般有,精确到哪一位,保留几个有效数字等说法.
4.如图是由4个大小相同的正方体组成的几何体,下列说法正确的是( )
A.主视图与左视图一样 B.主视图与俯视图一样
C.左视图与俯视图一样 D.三视图都不一样
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是左视图,从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
解:该几何体的主视图和左视图完全相同,均为底层两个小正方形,上层的左边是一个小正方形;俯视图底层右边是一个小正方形,上层是两个小正方形,
故选:A.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是左视图,从上边看得到的图形是俯视图.
5.如图,掷飞镖游戏中,掷中阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】用阴影部分的面积除以圆的面积即可求得概率.
解:设圆的半径为r,
则阴影的面积为=πr2,圆的面积为πr2,
∴掷中阴影部分的概率是=.
故选:C.
【点评】此题主要考查了几何概率,会计算扇形的面积是解题关键.
6.正六边形的半径为4,则它的边心距是( )
A.2 B.4 C.2 D.2
【分析】根据正六边形的特点,通过中心作边的垂线,连接半径,结合解直角三角形的有关知识解决.
解:如图,连接OA、OB;过点O作OG⊥AB于点G.
在Rt△AOG中,OA=4,∠AOG=30°,
∴OG=OA•cos30°=4×=2,
故选:C.
【点评】本题考查的是正多边形和圆,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
7.已知一组数据为8,10,12,14,8,8,10,则这组数据的众数是( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【分析】根据众数的定义求解即可.
解:这组数据中8出现3次,次数最多,
所以这组数据的众数是8,
故选:A.
【点评】本题主要考查众数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
8.2023年3月16日,“泰国3•15开摘节”采摘的榴莲抢“鲜”人湘,标志着长沙一曼谷定期国际货运航线正式通航,长沙一曼谷的航线距离是3600km,往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1小时,设飞机在静风中的速度为xkm/h,风速为30km/h,则可列方程( )
A. B.
C. D.
【分析】由飞机在静风中的速度及风速,可得出飞机在顺风中的速度为(x+30)km/h,在逆风中的速度为(x﹣30)km/h,结合实际=路程÷速度,结合往返一次逆风航行所需的时间比顺风的时间多1小时,即可得出关于x的分式方程,此题得解.
解:∵飞机在静风中的速度为xkm/h,风速为30km/h,
∴飞机在顺风中的速度为(x+30)km/h,在逆风中的速度为(x﹣30)km/h.
根据题意得:﹣=1.
故选:A.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
9.二次函数y=(x﹣2)2+1的图象向右平移1个单位,得到的图象对应的函数表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x﹣3)2+1 C.y=(x﹣2)2 D.y=(x﹣2)2+2
【分析】直接运用平移规律“左加右减,上加下减”解答.
解:将二次函数y=(x﹣2)2+1的图象向右平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是y=(x﹣2﹣1)2+1,即y=(x﹣3)2+1.
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规分别以A,B为圆心,大于的长为半径画弧相交于两点,连接交点,交AB于点D,下列说法不一定正确的是( )
A.AD=CD B.∠ACD=∠BCD C.∠DCB=∠CBD D.AD=DB
【分析】由作图得:D为AB的中点,由直角三角形的性质及等边对等角求解.
解:由作图得:D为AB的中点,
∵∠C=90°,
∴AD=CD=BD,
∴∠DCB=∠CBD,
故A、C、D正确,
故选B.
【点评】本题考查了基本作图,掌握直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.因式分解:4a2+4a+1= (2a+1)2 .
【分析】原式利用完全平方公式分解即可.
解:原式=(2a)2+4a+1=(2a+1)2,
故答案为:(2a+1)2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
12.一元一次方程2x﹣m=2023的解为x=1012,则m= 1 .
【分析】把x=1012代入方程,即可得出一个关于m的一元一次方程,求出方程的解即可.
解:把x=1012代入方程2x﹣m=2023得:2×1012﹣m=2023,
解得:m=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能得出一个关于m的一元一次方程是解此题的关键.
13.如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,点C是AB的中点,连接OC,则OC的长为 3 .
【分析】根据垂径定理的推论得OC⊥AB,再根据勾股定理即可求出答案.
解:∵B是AC的中点,
∴AC=AB=4,OC⊥AB,
在Rt△OAC中,OC===3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了垂径定理,关键是由B是AC的中点得到OB⊥AC.
14.长沙市马栏山视频文创园滨河路与枫林塘路交会处,有一棵300多岁的古樟树,类似于圆柱体的树木主干高3m需要刷保护料,树干的半径为0.8m,则需粉刷的面积是 1.92π m2 (结果保留π).
【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可求解.
解:π×0.82×3
=π×0.64×3
=1.92π(m2 ).
故需粉刷的面积是1.92πm2.
故答案为:1.92π.
【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算,关键是熟练掌握圆柱的侧面积公式.
15.反比例函数的图象如图所示,则k的取值范围是 k>1 .
【分析】由反比例函数图象位于第一、三象限得到k﹣1>0,即可求出k的范围.
解:∵这个反比例函数的图象分布在第一、三象限,
∴k﹣1>0,
解得k>1.
故答案为:k>1.
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质,掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.
16.如图,已知在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上,G、H分别在AC、AB上,则内接矩形EFGH的最大面积为 80 .
【分析】利用矩形的性质和平行线之间的距离相等的性质得到PD=HE=FG,设PD=HE=FG=x,则AP=AD﹣PD=16﹣x;利用相似三角形的判定与性质,对应高的比对应相似比求得线段HG的长度,再利用矩形的面积公式求得用含x的代数式表示的矩形EFGH的面积,最后利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论.
解:∵四边形EFGH为矩形,
∴HE=GF,HG∥EF.
∵AD⊥BC,
∴PD=HE=FG,
设PD=HE=FG=x,则AP=AD﹣PD=16﹣x.
∵HG∥EF,
∴△AHG∽△ABC,
∴,
∴,
∴GH=20﹣x.
∴矩形EFGH的面积=HG•HE
=x(20﹣x)
=﹣+20x
=﹣+80.
∵﹣<0,
∴当x=8时,内接矩形EFGH的最大面积为80.
故答案为:80.
【点评】本题主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,二次函数的图象与性质,配方法,利用配方法求得函数的最大值是解题的关键.
三、解答题(本大题共9个小题,其中17、18、19题每小题6分,2的立生说明、证明过程
17.计算:.
【分析】利用负整数指数幂、零指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算即可.
解:原式=1﹣1+2×+7
=3+7
=10.
【点评】本题考查的是实数的运算,掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键.
18.解不等式组.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
解:由+1≥得:x≤6,
由2x+5>7得:x>1,
则不等式组的解集为1<x≤6.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
19.如图,在平行四边形ABCD中,DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA,分别交AB、CD于点E、F.
(1)若∠DAB=60°,求∠DFB的度数;
(2)求证:四边形DEBF是平行四边形.
【分析】(1)由平行四边形的性质可得出答案;
(2)根据平行四边形的性质得出CD∥AB,CD=AB,AD=BC,由角平分线定义证出AE=CF,即可证明四边形DEBF是平行四边形.
【解答】(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠ABC=60°,
∴∠DFB=180°﹣∠ABF=180°﹣60°=120°;
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB,AD=BC,
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线,
∴∠ADE=∠CDE,∠CBF=∠ABF,
∵CD∥AB,
∴∠AED=∠CDE,∠CFB=∠ABF,
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD,CF=CB,
∴AE=CF,
∴AB﹣AE=CD﹣CF,即BE=DF,
∵DF∥BE,
∴四边形DEBF是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,角平分线的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
20.“你点我检”活动从2023年2月20日开始,市场监管部门通过抽检品种和抽样场所了解情况.以下是10名检测员对某学校的甲、乙两个食堂进行打分调查的统计结果:
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
甲
6
6
8
9
10
10
6
7
8
10
乙
8
7
7
9
10
9
8
8
7
7
(1)根据以上数据,将下面表格补充完整:
类型分数
6分
7分
8分
9分
10分
甲频数
3
1
2
1
3
甲频率
0.3
0.1
0.2
0.1
0.3
乙频数
0
4
3
2
1
乙频率
0
0.4
0.3
0.2
0.1
(2)分别求出甲、乙食堂打分的平均数;
(3)从稳定性角度分析,学生应该选哪个食堂用餐比较合适.
参考公式.
【分析】(1)根据统计表数据以及频数与频率的定义可得答案;
(2)根据加权平均数的计算公式解答即可;
(3)根据方差公式求出甲、乙食堂打分的方差,再根据方差的意义解答即可.
解:(1)由题意得,
甲食堂6分的频数为3,频率为0.3;8分的频数为2,频率为0.2;
乙食堂7分的频数为4,频率为0.4;9分的频数为2,频率为0.2;
故答案为:3、2、0.3、0.2、4、2、0.4、0.2;
(2)甲食堂打分的平均数为:(6×3+7+8×2+9+10×3)=8;
乙食堂打分的平均数为:(7×4+8×3+9×2+10)=8;
答:甲、乙食堂打分的平均数均为8;
(3)甲食堂打分的方差为[3×(6﹣8)2+(7﹣8)2+2×(8﹣8)2+(9﹣8)2+3×(10﹣8)2]=2.6,
乙食堂打分的方差为[4×(7﹣8)2+3×(8﹣8)2+2×(9﹣8)2+(10﹣8)2]=1,
∵甲食堂打分的方差比乙食堂打分的方差大,
∴乙食堂更稳定,学生应该选乙食堂用餐比较合适.
【点评】本题考查了加权平均数,方差以及频数与频率,掌握相关定义与公式是解答本题的关键.
21.长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心,是旅游打卡圣地,小明想了解它的具体高度,通过下面方法进行测算.如图,小明站在楼前的平地B处,观测到国金大厦的最高点G仰角为15°,他朝正前方笔直行走900.8米来到C处,此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°,若小明的眼睛离地面1.6米.
(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度DG;
(2)小明还要走多远(CD的距离)才能到达国金大厦?
【分析】(1)根据题意可得:AB=EC=FD=1.6米,AE=BC=900.8米,GF⊥AF,GD⊥BD,先根据三角形的外角性质可得∠AGE=∠GAE=15°,从而可得AE=EG=900.8米,然后在Rt△GEF中,利用含30度角的直角三角形的性质求出GF的长,从而利用线段的和差关系进行计算即可解答;
(2)根据题意可得:EF=CD,然后在Rt△GEF中,利用锐角三角函数的定义求出EF的长,即可解答.
解:(1)由题意得:AB=EC=FD=1.6米,AE=BC=900.8米,GF⊥AF,GD⊥BD,
∵∠GEF是△AEG的一个外角,∠GEF=30°,∠GAE=15°,
∴∠AGE=∠GEF﹣∠GAE=15°,
∴∠AGE=∠GAE=15°,
∴AE=EG=900.8米,
在Rt△GEF中,GF=GE=450.4(米),
∴DG=GF+DF=450.4+1.6=452(米),
∴长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米;
(2)由题意得:EF=CD,
在Rt△GEF中,∠GEF=30°,GE=900.8米,
∴EF=GE•cos30°=900.8×=450.4(米),
∴EF=CD=450.4米,
∴小明还要走450.4米才能到达国金大厦.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
22.小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花,在“母亲节”祝福妈妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元,3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元?
(2)小美准备买康乃馨和百合共11支,且百合不少于2支.设买这束鲜花所需费用为w元,康乃馨有x支,求w与x之间的函数关系式,并设计一种使费用最少的买花方案,写出最少费用.
【分析】(1)设买一支康乃馨需m元,买一支百合需n元,根据题意列方程组求解即可;
(2)根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式,然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可.
解:(1)设买一支康乃馨需m元,买一支百合需n元,
则根据题意得:,
解得:,
答:买一支康乃馨需4元,买一支百合需5元;
(2)根据题意得:w=4x+5(11﹣x)=﹣x+55,
∵百合不少于2支,
∴11﹣x≥2,
解得:x≤9,
∵﹣1<0,
∴w随x的增大而减小,
∴当x=9时,w最小,
即买9支康乃馨,买11﹣9=2支百合费用最少,wmin=﹣9+55=46(元),
答:w与x之间的函数关系式:w=﹣x+55,买9支康乃馨,买2支百合费用最少,最少费用为46元.
【点评】本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用,关键是利用题意写出函数关系式.
23.如图,四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,对角线AC、BD相交于点O.
(1)求BD的长;
(2)点F是AB上一点,过点F分别作两条对角线的垂线段,垂足分别是M、N,求FM+FN的值.
【分析】(1)根据矩形的性质可得AC=BD,∠ABC=90°,然后利用勾股定理即可解决问题;
(2)连接OF,利用S△AFO+S△FBO=S△AOB,列出方程即可求出结果.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,
∴AC=BD,∠ABC=90°,
∴AC=BD==5,
∴BD的长为5;
(2)如图,连接OF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=5,AO=CO==BO=DO,
∵S△AFO+S△FBO=S△AOB,
∴×AO×FN+×BO×FM=×AB×BC,
∴5(FN+FM)=3×4,
∴FN+FM=.
【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,解决本题的关键是掌握矩形的性质.
24.我们不妨约定:函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)与x轴、y轴交点和原点构成图形是等腰直角三角形时的函数称“M函数”,等腰直角三角形中除掉原点外的两个顶点称“M点”,例如:函数y=x2﹣x﹣2与x轴交于点A(﹣1,0)、B(2,0),与y轴交于C(0,﹣2),△BOC是等腰直角三角形,则y=x2﹣x﹣2是“M函数”,其中B、C是“M点”.
(1)若一次函数y=kx+2023是“M函数”,求k的值,并求出“M点”;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a>0,c<0)是过A(1,0)的“M函数”、与x轴交于点B,与y轴交于点C,B、C为“M点”,过点C作直线l平行于x轴,D是直线l上的动点,E是y轴上的动点,ED=2.
①当点D落在“M函数”上(不与点C重合),且AD=DE时,求点D的坐标;
②取ED的中点F,当c为何值时,BF的最小值是?
【分析】(1)根据“M函数”的定义可得:|﹣|=2023,解得k=±1,当k=1时,“M点”为(﹣2023,0),(0,2023);当k=﹣1时,“M点”为(2023,0),(0,2023);
(2)①设B(m,0),可得C(0,m);求出抛物线的解析式为y=x2﹣(m+1)x+m,可得D(m+1,m),过点A作AH⊥直线l于点H,由DH=﹣m,HA=﹣m,知AD=﹣m,故﹣m=2,得:m=﹣2,从而D(﹣1,﹣2);
②连接CF、BC,由F是DE的中点,知点F在以点C为圆心,为半径的圆上,由B(m,0),C(0,m)得BC=﹣m,当BC≥时,﹣m﹣,得m=﹣;c=﹣;当BC<,﹣(﹣m)=,得m=﹣;c=﹣.
解:(1)在y=kx+2023中,令x=0得y=2023,令y=0得x=﹣,
∴直线y=kx+2023与x轴交点为(﹣,0),与y轴交点为(0,2023),
根据“M函数”的定义可得:|﹣|=2023,
解得k=±1,
当k=1时,﹣=﹣2023,
∴“M点”为(﹣2023,0),(0,2023);
当k=﹣1时,﹣=2023,
∴“M点”为(2023,0),(0,2023);
(2)①设B(m,0),则ax2+bx+c=0的两个实数根为m和1,
∴m×1=,
∵a>0,c<0,
∴m<0,
∵B、C为“M点”,
∴C(0,m);
将A(1,0),B(m,0),C(0,m)代入y=ax2+bx+c得:
,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣(m+1)x+m,
在y=x2﹣(m+1)x+m中,令y=m得:m=x2﹣(m+1)x+m,
解得x=1或x=m+1,
∴D(m+1,m),
过点A作AH⊥直线l于点H,如图:
∴H(1,m),
在Rt△DAH中,DH=﹣m,HA=﹣m,
∴AD=﹣m,
∵AD=ED=2,
∴﹣m=2,
解得:m=﹣2,
∴D(﹣1,﹣2);
②连接CF、BC,如图:
由F是DE的中点,
∴CF=DE=,
∴点F在以点C为圆心,为半径的圆上,
∵B(m,0),C(0,m),
∴BO=﹣m,CO=﹣m,c=m,
在Rt△BCO中,BC=﹣m,
当BC≥时,即m≤﹣1时,满足条件的点F在线段BC上,
∴BF的最小值为BC﹣FC=﹣m﹣,
﹣m﹣=,
解得m=﹣;
∴c=﹣;
当BC<,即﹣1<m<0时,满足条件的点N落在线段CB的延长线上,
∴BF的最小值为FC﹣BC=﹣(﹣m)=,
解得m=﹣;
∴c=﹣;
综上所述,c的值为﹣或﹣.
【点评】本题考查二次函数的综合应用,涉及新定义,待定系数法,最短路径等,等腰直角三角形等知识,解题的关键是读懂题意,理解“M函数和“M点”概念.
25.如图,已知圆O是四边形ABCD的外接圆,BD是直径.连接AC交BD于点E.
(1)如图1,D是弧AC的中点,当∠CAD=25°,求∠ABD的度数;
(2)如图2,AB=AD,将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△ABC′,其中AD与AB重合,求证:AB2=AC2﹣BC•BC';
(3)如图3,AB=AD,F是AD的中点,连接BF,过D点作DM⊥AD交AC于点M,当BF⊥AC时,求的值.
【分析】(1)利用等弧对等弦,等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可;
(2)利用圆周角定理和勾股定理求得AB2+AD2=BD2,BC2+CD2=BD2,利用等腰直角三角形的性质得到,利用旋转的性质,勾股定理和等腰直角三角形的性质求得;利用等式的性质和等量代换,通过计算AC2﹣AB2即可得出结论;
(3)设AF=FD=a,则AB=AD=2a,利用全等三角形的判定与性质求得AF=DM=a,利用勾股定理求得AD,BD,再利用相似三角形的判定与性质求得EM=AM=a,DE=BD=a,计算即可得出结论.
【解答】(1)解:∵D是弧AC的中点,
∴,
∴AD=DC,
∴∠DCA=∠CAD=25°,
∴∠ABD=∠DCA=25°;
(2)证明:∵BD是直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴AB2+AD2=BD2,BC2+CD2=BD2.
∵AB=AD,
∴.
∵将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△ABC′,
∴∠CAC′=90°,AC=AC′,CD=C′B.
∵AC2+AC′2=CC′2,
∴.
∵CC′=BC′+BC,
∴=+BC•BC′+.+BC•BC′+.
∴AC2﹣AB2=+BC•BC′+﹣
=+BC•BC′+﹣BC2﹣
=+BC•BC′+﹣BC2﹣
=BC•BC′.
∴AB2=AC2﹣BC•BC';
(3)解:∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
设AF=FD=a,则AB=AD=2a,
∵BD是直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴BD=AB=2a.
∵BF⊥AC,
∴∠BAC+∠ABF=90°,
∵∠BAC+∠DAC=90°,
∴∠ABF=∠DAC.
在△ABF和△DAM中,
,
∴△ABF≌△DAM(ASA),
∴AF=DM=a.
∴AM==a.
∵BA⊥AD,DM⊥AD,
∴AB∥DM,
∴△ABE∽△MDE,
∴=2,
∴EM=AM=a,DE=BD=a,
∴=.
【点评】本题属于圆综合题,考查了垂径定理,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
相关试卷
这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考数学三模试卷(含解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷(含解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考数学二模试卷(含解析),共25页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。