河北衡水中学2017届高三9月联考摸底（全国卷）理数试题及答案（WORD）

绝密★启用前【考试时间：2016年9月7日7:50~9:50】

河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）

理数试题[来源:学科网ZXXK]

       命题人：褚艳春、姜宗帅、赵鸿伟

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。所有试题都要答在答题卡上。

第l卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合，且，则集合可能是

  A.              B.            C.           D.

2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在

  A.第一象限           B.第二象限          C.第三象限          D.第四象限[来源:Zxxk.Com]

3. 已知平面向量满足，且，，则向量与夹角的余弦值为

  A.                B.            C.                D.

4. 执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的值为

  A.1                   B.2

  C.3                   D.4

5. 已知数列中，，，为其前项和，则的值为

  A.57                  B.61

  C.62                  D.63

6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

  A.                B.

  C.                D.

7. 为了得到，只需要将作如下变换

  A.向右平移个单位                        B.向右平移个单位

  C.向左平移个单位                        D.向右平移个单位 

8. 若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，东直线扫过A中的那部分区域的面积为

  A.1                   B.1.5              C.0.75               D.1.75

9. 焦点在轴上的椭圆方程为,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为

  A.                  B.               C.                 D.

10. 在四面体S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是

  A.              B.              C.               D.

11.已知函数,则关于x的方程实根个数不可能为

   A.2                  B.3                C.4                  D.5

12. 函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则

  A.在上是减函数

  B.在上是增函数

  C.在上是减函数

  D.在上是增函数

第II卷(非选择题  共90分)

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

13. 的展开式中项的系数为_______.
14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=_______.
15. 如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=_______m.
16. 设函数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本小题满分12分）

   中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．

  （1）求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式（注：2016年为第一年）；

  （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）

18.（本小题满分12分）

   如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．

  （1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，

请证明；若不存在，请说明理由；

  （2）求二面角D-PE-A的余弦值.

19.（本小题满分12分）

   某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准

 （1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

  且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

 （2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3   5   3   3   8   5   5   6   3   4

6   3   4   7   5   3   4   8   5   3

8   3   4   3   4   4   7   5   6   7

   用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．

  （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；

    ②“性价比”大的产品更具可购买性．

20. （本小题满分12分）已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

  （1）求椭圆C的方程；

  （2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；

  （3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值.

21.（本小题满分12分）已知函数(常数且).

   （1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；[来源:Zxxk.Com]

   （2）若函数存在两个极值点，证明：且.

 请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

   如图 A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

   （Ⅰ）若,,求的值；

   （Ⅱ）若，证明：EF∥CD．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

   已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l

的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．

  （Ⅰ）写出C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

  （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．

24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲

   已知函数,.

  （Ⅰ）解不等式；

  （Ⅱ）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.

河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）[来源:学。科。网Z。X。X。K]

数学学科（理科）

评分细则、切题方案

第一部分：评分细则.

一、       选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.

ADCBA   DCDCB  DB

二、       填空题：每题5分，共20分.

13. 2    14.   15.   150    16.

三、解答题

17.本题满分12分[来源:学科网]

解：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，

                                    3分

当时，数列是以公比为的等比数列，又

                                                     6分

因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为

                                       7分

（2）设为数列的前项和，则从2016年到2035年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得：

万       10分

（说明：）

新政策实施到2035年年人口均值为 48.63万

由，故到2035年不需要调整政策．                                 12分

18．本题满分12分

解：（1）连接，交于点，连接，则平面       1分

      证明：为中点，为中点

为的中位线，                                 2分

又平面平面

平面平面=,平面,

平面  

，                                                        4分

又，

平面

所以平面                                                 6分

（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，

平面PEA

平面PEA的法向量                                  8分

另外，，

，,设平面DPE的法向量，则

，令，得                             10分

又为锐二面角,所以二面角的余弦值为               12分

注意：其它答案可参考给分

19．本题满分12分

解：（I）因为

又由X1的概率分布列得

由                                     4分

（II）由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：

所以

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.                           8分

（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为

因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为

据此，乙厂的产品更具可购买性。                                        12分

20．本题满分12分

解：（1）由题意    即   ………………    4分

 （2）设，

由得

同理                                           6分 

i) 时， 过定点

ii) 时过点过定点

（3）由（2）知

                                     8分

令时取等号时去等号，   12分

21．本题满分12分

 解：依题意，

 令，则.                          1分

（1）①当时，，，故，所以在不存在零点，则函数在不存在极值点；                        2分

②当时，由，故在单调递增. 又，，

所以在有且只有一个零点.                         3分

 又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，，

所以函数在有且只有一个极值点.                 

综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点.       4分

（2）因为函数存在两个极值点,（不妨设），

所以,是的两个零点，且由（1）知，必有.

令得；

令得；

令得.

所以在单调递增，在单调递减，            6分

又因为，

所以必有.                                           

令，解得，                              8分

此时.

因为是的两个零点，

所以，.

将代数式视为以为自变量的函数，

则.

当时，因为，所以，

则在单调递增.

因为，所以，

又因为，所以.

当时，因为，所以，

则在单调递减，

因为，所以.

综上知，且．                            12分

22.本题满分10分

（1）解：因为A、B、C、D四点共圆；

23．本题满分10分

解：(1)∵ρ＝4cosθ.

∴ρ2＝4ρcosθ，

由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得x2＋y2＝4x，                 3分

所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，

消去t解得：.所以直线l的普通方程为.      5分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

(2)把代入x2＋y2＝4x.

整理得t2－3t＋5＝0.

设其两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝3，t1t2＝5.

所以|PQ|＝|t1－t2|＝＝.                     10分

24、本题满分10分

解析：

（1）由得，  ，解得 ．

所以原不等式的解集为                    5分

（2）因为对任意，都有，使得=成立

所以，

有，

所以从而  或       10分

切题方案：填空题和 解答题，每道题切一块.