河北省衡水中学2017届高三押题卷（I）理数试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

理科数学（Ⅰ）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则=（    ）

A．         B．       C．       D．

2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（    ）

A．          B．       C．       D．

3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（    ）

A.             B．             C.           D．

4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（    ）

A.它们的焦距相等                   B．它们的焦点在同一个圆上               

C.它们的渐近线方程相同             D．它们的离心率相等

5.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（    ）

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件               

C.充要条件                      D．既不充分也不必要条件

6.执行如图的程序框图，则输出的值为（    ）

A.1009         B．-1009         C.-1007        D．1008

7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．              B．          C．       D．

8.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（    ）

A．            B．             C.                D．

9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A.         B．       

C.         D．

10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（    ）

A．720             B．768              C.810            D．816

11.焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（    ）

A．或          B．      

C.或          D．

12.定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（    ）

A．               B．         

C.             D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知，，若向量与共线，则和方向上的投影为         ．

14.已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=          ．

15.在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为          ．

16.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是          .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.

18.如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.

方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.

方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

20. 已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为，，线段的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点，求证：.

请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.

（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；

（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.

23. 选修4-5：不等式选讲.

已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若，试比较，，的大小.

参考答案及解析

理科数学（Ⅰ）

一、选择题

1-5:BBDDA       6-10:BCCDB      11、12：AD

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.          14.           15.           16.

三、解答题

17.解：（1）的展开式中的系数为，

即，

所以当时，；

当时，也适合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）证明：，

所以，

所以.

18.解：（1）如图，延长交于点.

因为为的重心，所以为的中点.

因为为的中点，所以.

因为是圆的直径，所以，所以.

因为平面，平面，所以.

又平面，平面，，所以平面.

即平面，又平面，

所以平面平面.

（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.

过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.

在中，由，得，则，.

所以，.

所以.

设二面角的大小为，则.

19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，

所以两位顾客均享受到免单的概率为.

（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000.

，，

，，

故的分布列为，

所以（元）.

若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，

由已知可得，故，

所以（元）.

因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.

20.解：（1）由题意可得，所以.

由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，

可得椭圆经过点，

所以，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，

所以，.

因为，所以，

即，

所以.

当时，，

所以；

当时，，所以.

综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.

21. 解：（1）由于的定义域为，则.

对于方程，其判别式.

当，即时，恒成立，故在内单调递增.

当，即，方程恰有两个不相等是实根，

令，得或，此时单调递增；

令，得，此时单调递减.

综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.

（2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.

又因为，为的零点，

所以，，两式相减得，得.

而，所以.

令，由得，

因为，两边同时除以，得，

因为，故，解得或，所以.

设，所以，

则在上是减函数，

所以，

即的最小值为.

所以.

22.解：（1）由得，

所以，所以圆的直角坐标方程为.

将直线的参数方程代入圆，并整理得，

解得，.

所以直线被圆截得的弦长为.

（2）直线的普通方程为.

圆的参数方程为（为参数），

可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.

所以，

即的面积的最大值为.

23. 解：（1）

根据函数的单调性可知，当时，.

所以函数的值域.

（2）因为，所以，所以.

又，

所以，知，，

所以，所以，

所以.