河北省衡水中学2016届高三下学期二模考试理数试题

这是一份河北省衡水中学2016届高三下学期二模考试理数试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（　）A．             B．         C．        D．2.已知复数，为z的共轭复数，则的值为（ ）A．-2          B．0          C．            D．23.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（ ）A．4           B．8              C．10          D．124.若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）A．或           B．或        C．      D．或105.在平面xOy内，向图形内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为（ ）A．            B．          C．           D．6.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a,b,c，若acosB+bcosA=csinC，且，则角B的值为（ ）A．        B．        C．       D．7.已知则的取值范围为（ ）A．       B．        C．       D．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A．         B．160            C．        D．609.如图，为双曲线C的左右焦点，且，若双曲线C右支上存在点P，使得，设直线与y轴交于点A，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）A．2            B．4           C．         D．10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，则（ ）A．        B．       C．       D．11.函数.数列的前n项和（p,q为常数，且p≠0），，若，则取值（ ）A．恒为正数           B．恒为负数C．恒为零             D．可正可负12.函数是定义在内的单调函数，，给出下面四个命题：①不等式恒成立；②函数存在唯一零点，且；③方程有且仅有一个根；④方程（其中e为自然对数的底数）有唯一解，且.其中正确的命题个数为（ ）A．1个        B．2个       C．3个       D．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若将函数表示为，其中为实数，则等于_______.14.已知三棱锥D-ABC的四个顶点都在球O的表面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，DB⊥平面ABC，DB=12，则球O的半径为_______.15.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为____.16.已知函数若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为_____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数（其中），若的一个条对称轴离最近的对称中心的距离为.（1）求的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，满足(2b-a)cosC=ccosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状.18.（本小题满分12分）如图，棱柱的所有棱长都为2，∠ABC=60°，平面平面ABCD，.（1）证明：；（2）求锐二面角的平面角的余弦值；（3）在直线上是否存在点P，使得BP∥平面，若存在，求出P的位置.19.（本小题满分12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯” 的调查中，随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表： 做不到光盘能做到光盘合计男451055女301545合计7525100（1）现按女生是否能抽到光盘进行分层，从45份女生中问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少?请说明理由.附：独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d.独立性检验临界表：20.（本小题满分12分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求抛物线C的标准方程；（2）直线x=-2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点.①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.21.（本小题满分12分）设函数，其中a≠0.（1）若函数y=g(x)图象恒过定点T，且点T关于直线的对称点在y=f(x)的图象上，求m的值；（2）当a=8时，设，讨论F(x)的单调性；（3）在（1）的条件下，设曲线y=G(x)上是否存在两点P，Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如图不存在，说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.（1）求证：；（2）若AF=2，，求AE的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线过点P（2，6），且倾斜角为，在极坐标系（与平面直角坐标系zOy取相同的长度，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线交于点A，B，求.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.             参考答案及解析一、选择题1.A   2.D    3.B   4.A    5.D   6.B    7.A    8.A    9.A    10.C    11.B    12.A二、填空题13.-20      14.       15.       16.三、解答题17.解：（1）.所以函数的单调递增区间为.（2）因为(2b-a)cosC=ccosA，由正弦定理，得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA，即2sinBcos=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，因为sinB≠0，所以，所以.所以.根据正弦函数的图象，可以看出f(x)的最大值为f(B)=1，此时，即，所以，所以△ABC为等边三角形.18.解：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC，连接.在中，，∴.∴，∴⊥AO.∵平面平面ABCD，∴⊥底面ABCD.∴分别以OB，OC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.（1）∵，∴，∴.（2）∵OB⊥平面.∴平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则则取.∴.（3）假设在直线上存在点P，使得BP∥平面，设，则，得.设平面的一个法向量为，则则不妨取.∵BP∥平面，∴，即，得，即存在点P在的延长线上，且，使得BP∥平面. 19.解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘.所以的可能取值为0，1,2,3.，，，，随机变量的分布列可列表如下：0123P所以.（2），因为，所以能在犯错误概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即最精确的P值应为0.10.20.解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为，∵椭圆离心率等于，的焦点为，∴，由，解得.∴椭圆C的标准方程为.（2）①直线x=-2与椭圆交于点P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q (-2,3)，所以，设，直线AB的方程为，与联立，得，由，得-4<m<4，由韦达定理，得，由A，B两点位于直线x=-2两侧，得，∴，解得-2<m<4，∴四边形APBQ的面积为，∴当m=0时，S取得最大值，最大值为.②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA，PB斜率之和为0.设PA斜率为k，则PB斜率为-k，当P(-2,3),Q(-2,-3)时，PA的直线方程为y-3=k(x+2).与椭圆方程联立，得，∴，同理，PB的直线方程为y-3=-k(x+2)，.∴，.直线AB的斜率为.当P(-2,-3),Q(-2,3)时，同理可得直线AB斜率为.21.解：（1）令，得x=2，∴T(2,0)，∴点T关于直线的对称点为(1,0).∴.（2），∴，∵x>0，∴x+1>0.∴当时，8+2mx>0，，此时，F(x)在区间内单调递增；当m<0时，由，得；由，得，此时，F(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减.综上所述，当时，F(x)在区间内单调递增；当m<0时，F(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减.（3）由条件（1），知假设曲线y=G(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴的两侧，设P(t,G(t))(t>0)，则.∵△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴，即，①当时，，此时方程①可化为，化简得无解，此时满足条件的P，Q不存在；当t>2时，G(t)=aln(t-1)，此时方程①可化为，化简得，设，则，当t>2时，，h(t)在区间内单调递增，h(t)的值域为，即.∴当a>0时，方程①总有解.综上所述，存在满足条件的P，Q时，实数a的取值范围为.22.解：（1）连接BE，由题意知△ABE为直角三角形，因为∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB，所以△ABE~△ADC，所以，即，又AB=BC，所以.（2）因为FC是圆O的切线，所以，又AF=2，，所以BF=4，AB=BF-AF=2.因为∠ACF=∠FBC，又∠CFB=∠AFC，所以△AFC~△CFB，所以，得.△ACB中，由余弦定理，得，所以，所以.23.解：（1）因为直线过点P（2，6），且倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数），由，得，所以曲线C的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，，，可设为上述方程的两个实根，则有又直线过点P(2,5)，所以.24.解：（1）原不等式等价于或或解得，或，或，所以不等式的解集为.（2）不等式等价于，因为，所以f(x)的最小值为4，于是，即解得-1<a<0，或3<a<4.所以实数a的取值范围是.