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人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性课后作业题
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课时跟踪检测 (四十三) 事件的相互独立性层级(一) “四基”落实练1.甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,则事件A与事件B ( )A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥解析:选A 对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.2.甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是 ( )A. B.C. D.解析:选C 两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,则P(AB)=P(A)P(B)=×=.3.有一道竞赛题,A,B,C三人可解出的概率分别为,,,则三人独立解答,仅有一人解出的概率为 ( )A. B.C. D.解析:选B 设仅有一人解出的事件为D,则P(D)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=××+××+××=.4.两名射手射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若各射击一次,则目标被击中的概率是 ( )A.0.56 B.0.92C.0.94 D.0.96解析:选C ∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3=0.06,∴目标被击中的概率为1-0.06=0.94.5.(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是 ( )A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为解析:选ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2相互独立.2个球都是红球为A1A2,其概率为×=,A正确;“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-×=,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为×+×=,D正确.故选A、C、D.6.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A )=________;P( )=________.解析:∵P(A)=,P(B)=,∴P()=,P()=.∴P(A )=P(A)P()=×=,P( )=P()P()=×=.答案: 7.已知生产某零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和P,每道工序是否产生废品相互独立,若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,则P=________.解析:由题意,得(1-0.01)(1-P)=0.960 3,解得P=0.03.答案:0.038.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解:记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;记C表示事件“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”.(1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)易知D=(A )∪(B),则P(D)=P(A )+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.层级(二) 能力提升练1.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要有一个开关正常工作即可靠)为 ( )A.0.504 B.0.994C.0.496 D.0.064解析:选B 由题意知,所求概率为1-(1-0.9)·(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.2.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球,则取得同色球的概率为________.解析:设从甲袋中任取1个球,事件A为“取得白球”,则事件 为“取得红球”;从乙袋中任取1个球,事件B为“取得白球”,则事件 为“取得红球”.∵事件A与B相互独立,∴事件 与 也相互独立.∴从每袋中任取1个球,取得同色球的概率为P(AB∪ )=P(AB)+P( )=P(A)P(B)+P()P()=×+×=.答案:3.甲、乙两名同学参加一项射击比赛,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响,且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为,则p的值为________.解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=,P(B)=p,P()=1-p,依题意×(1-p)+×p=,解得p=.答案:4.(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率.解:设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A,B,C,易知事件A,B,C相互独立.甲学校获得冠军,对应事件A,B,C同时发生,或事件A,B,C中有两个发生,故甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC+BC+AC+AB)=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.5.已知某音响设备由五个部件组成,A电视机,B影碟机,C线路,D左声道和E右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,当且仅当A与B中至少有一个工作,C工作,D与E中至少有一个工作时能听到声音,且若D和E同时工作则有立体声效果.(1)求能听到立体声效果的概率;(2)求听不到声音的概率.解:(1)能听到立体声效果的概率P1=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×0.94×0.94=0.835 222 9.(2)能听到声音的概率P2=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×[1-(1-0.94)2]=0.941 847 1,故听不到声音的概率为1-P2=1-0.941 847 1=0.058 152 9.层级(三) 素养培优练 在生活小常识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.(1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.解:(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A,B,C,设乙答对这道题的概率P(B)=x,由于每人回答问题正确与否相互独立,因此A,B,C是相互独立事件.由题意可知,P(A)=,P( )=P()P()=×(1-x)=,解得x=,所以乙答对这道题的概率为P(B)=.(2)设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的概率P(C)=y,由题可知,P(BC)=P(B)·P(C)=×y=,解得y=.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( )=P()P()·P()=××=.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对”,所以P(M)=1-=.
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