2022-2023学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在复平面内，复数对应的点与复数为虚数单位对应的点关于虚轴对称，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平行四边形中，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，，则的解的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定

4.  已知正四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，高为，则该四棱台的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一艘船从河岸边出发向河对岸航行已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知正三棱锥中，，，，则正三棱锥内切球的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知是直径为的圆内接三角形，三角形的一个内角满足，则周长的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知复数，，，且，在复平面内对应向量为，，，为坐标原点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在中，角，，所对的边分别为，，，则(    )

A. 若，则
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 点，，与向量共线的单位向量为
D. 若平面向量，满足，则的最大值是

10.  设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则(    )

A. 在内存在直线与直线相交 B. 平面与直线至多有一个公共点
C. 在内存在直线与直线垂直 D. 存在过直线的平面与垂直

11.  在中，角，，所对的边分别为，，，则下列判断正确的是(    )

A. 若，则为钝角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若的三条高分别为，，，则为钝角三角形
D. 若，则为直角三角形

12.  如图，在矩形中，，，，分别为，中点，将沿直线翻折成，与、不重合，连结，为中点，连结，，则在翻折过程中，下列说法中正确的是(    )

A. 的长是定值
B. 在翻折过程中，三棱锥的外接球的表面积为
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 点到面的最大距离为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长______ ．

14.  在中，角，，所对的边分别为，，，，且面积为，若，则 ______ ．

15.  已知，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角 ______ ．

16.  已知向量，的夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数是虚数单位．
求复数的模；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

18.  本小题分
如图，，，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周设逆时针旋转至时，旋转角为，．
求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；
当时，求点到平面的距离．

19.  本小题分
复数，，为虚数单位，．
若是实数，求的值；
若复数，对应的向量分别是，，向量，的夹角为锐角，求的范围．

20.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，且．
求；
若，，角的平分线交于点，点满足，求．

21.  本小题分
如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
设，求的值；
若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
证明：；
求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标，进一步得到的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数形式的表示法及其几何意义，是基础的计算题．
【解答】

解：，
在复平面内对应点的坐标为，
又复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，
所对应点的坐标为，则．
故选A．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，
．
故选：．
以为基底表示，代入向量的数量积公式计算即可．
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
则，
，
，即，
又，
的解的个数是个．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设正四棱台的斜高为，
则，
所以四棱台的表面积为．
故选：．
计算出四棱台侧面的高，再利用梯形和正方形的面积公式可求得该四棱台的表面积．
本题主要考查了四棱台的结构特征，考查了四棱台的表面积公式，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，
是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短，
由题意知，，，
，
所以当航程最短时船实际航行的速度大小为．
故选：．
由平面向量加法的平行四边形法则，以及平面向量模的计算问题，利用直角三角形求解即可．
本题考查了平面向量在实际问题中的应用，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设底面边长为，三棱锥的高为，
过作平面的垂线，垂足为，连接，
以为坐标原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得，，，，
，，，
，，
，，，
，又，
，，
正三角形的边长为，
正三棱锥的各侧面为直角三角形，
设正三棱锥内切球的半径为，
侧面面积为，底面面积为
，
．
故选：．
设底面边长为，三棱锥的高为，过作平面的垂线，垂足为，连接，以为坐标原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可得，利用，可求，，进而可求正三棱锥内切球的半径．
本题考查求空间几何体的内切球的半径，考查运算求解能力，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：三角形的一个内角满足，
不妨记所对的角，即，，
是直径为的圆内接三角形，，
在中，由余弦定理可得

，，当且仅当时取等号，
故周长的最大值为．
故选：．
不妨记所对的角，利用已知结合正弦定理可求，进而利用余弦定理可求的最大值，可求周长的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据条件得，设，
，，


，其中，
时，取最小值为．
故选：．
根据条件可得出，并设，然后可得出和的坐标，进行数量积的坐标运算，然后根据辅助角公式即可求出的最小值．
本题考查了复数和向量的对应关系，向量坐标的减法和数乘运算，向量坐标的数量积运算，辅助角公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，角，，所对的边分别为，，，
若，则，结合正弦定理可得，故A正确；
若，则角为锐角，但不一定是锐角三角形，故B错误；
点，，，与向量共线的单位向量为或，故C错误；
，，，
，
，即的最大值为，故D正确．
故选：．
由三角形中的边角关系结合正弦定理判断；由余弦定理及三角形内角和定理判断；求出与向量共线的单位向量判断；由向量的模及平面向量的数量积运算判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：是给定的平面，、是不在内的任意不同的两点，
直线与平面相交或平行，
平面与直线至多有一个公共点，故B正确；
当时，在内不存在直线与直线相交，故A错误；
当时，不妨把平移到平面内，得到直线，
在平面内能找到直线，使得，此时直线，
当直线与平面斜交时，设在平面内的射影是，
即，，此时只要，就有，
，，，，，
平面，，
当直线时，在内的任意直线都与直线垂直，故C正确；
不论与平面平行还是相交，过作平面的垂线，
则这条垂线与直线所确定的平面与垂直，
若垂线与重合，则过的任意平面都与垂直，故D正确．
故选：．
利用空间中直线与平面的位置关系判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，，只有一个小于，
所以是钝角三角形，选项A正确；
对于，若，则或，
所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
对于，设的面积为，由面积公式知，
解得，，，
所以为最大角，
计算，
所以为钝角，为钝角三角形，选项C正确；
对于，由，得，
，时取“”，
所以，解得，即，
所以，为直角三角形，选项D正确．
故选：．
利用三角函数的性质，三角恒等变换和正弦定理，以及解三角形的知识，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了两角和的正切公式，正弦、余弦定理的运用问题，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：如图，可得由定值，定值，定值，
由余弦定理可得，所以，是定值，故A正确；
是以为斜边的等腰直角三角形，故在翻折过程中，三棱锥的外接球的直径为，
三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；
当时，由余弦定理可得，
，解得，可得是直角三角形，即，
又，，平面，

连接，可得，，，又易得，
平面，到平面的距离为，
为的中点，到平面的距离为，
，故C正确；
点到面的距离时，即三棱锥的体积最大时，
即和体积最大时，又为定值，即到平面的距离最大时，
此时平面平面，最大距离为，
设到到面的距离为，
由等体积法可得，
，解得，
点到面的最大距离为，故D正确．
故选：．
依据空间几何体的性质，结合每个选项的条件计算判断即可得结论．
本题考要空间几何体的性质，考查点到面的距离的求法，考查外接球的表面积的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，作出原图，原图中，，，为的中点，
则，
则的周长．
故答案为：．
根据题意，结合直观图，作出原图，由此分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，解得：；
又，代入得：或；
根据余弦定理得：，
解得：；
故答案为：．
根据三角形面积解得，代入解得或；然后根据余弦定理求得．
本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
则，
与方向相同的单位向量为，在上的投影向量为，
则，解得，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，则，，作，垂足为，则，
对任意，恒有，

，，
以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，
设，则，
设关于直线的对称点为，则，，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．

设，，作出向量的几何图形，根据到最小距离可计算，将问题转化为求直线上的点到两定点的距离之和问题．
本题考查平面向量的几何意义，平面最短距离问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
故；
因为
，
所以解得，
故的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．
 

18.【答案】解：设底面半径为，圆锥底面面积为，底面周长母线，
母线．
圆锥的体积，，
侧面积．
圆锥的体积，侧面积．
旋转一周所得旋转体的体积
旋转一周所得旋转体表面积．
连接，，，，
，
，设点到平面的距离为，
，，
因为是的中点．即点到平面的距离为． 

【解析】根据圆锥的体积以及表面积公式可解；
根据等体积法可解．
本题考查空间几何体的体积与表面积的计算，考查点到面的距离的求法，属中档题．
 

19.【答案】解：，，
则，
因为为实数，
所以，，
；
复数，，
复数、对应的向量分别是，，，，
，
，
又，，
当、同向时，
，即，解得，
综上，向量、的夹角为锐角时，的范围是． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：在中，由正弦定理得：，
由余弦定理，，则，
则，
因为，所以；
在中，因为，，，所以，
又为的平分线，所以，．
，在中，，
，为等边三角形，所以．
在中，由余弦定理可得，
可得，
在中，由正弦定理可得，
即，得． 

【解析】由正余弦定理，即可求解；
根据正弦定理、余弦定理、角平分线的性质，即可求解．
本题考查利用正余弦定理解三角形，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，，
，则，
设，，
则，
则，解得；
假设存在点，使得，
，，
当点在上时，设，，
，
，则，
则，，
当点在上时，设，，
，
，则舍去，
综上，存在点，且． 

【解析】先建立平面直角坐标系，求出坐标，再利用平面向量的坐标运算，求解即可；
分类讨论当点在上和点在上，再利用向量垂直的坐标表示，求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于中档题．
 

22.【答案】证明：，
，
由余弦定理得：，即，
由正弦定理得：，
，
整理得：，即：，
又、，
，即：．
解：，
，
又，，
，
由正弦定理得：，
又，，，
，解得，
，
令，则，，
对称轴为，
在上单调递增，
当时，；当时，，
，即：的范围为． 

【解析】运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可．
运用三角形内角范围求得角的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．