2022-2023学年广西南宁市重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  当自变量由变到时，函数的平均变化率是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列求导运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  重庆一中学食堂被全市好评，其食物样品丰富某天中午，号窗口提供了种不同的荤菜和种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有种不同选择午餐的情况．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  年北京冬奥会共有个比赛项目，甲、乙两名同学分别从冰上项目：短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰壶、冰球个体育项目中，任意选取一个项目进行学习，要求两人不能同时选报同一个项目，则不同的选取方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6.  在等差数列中，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图是的导函数的图象，则的极小值点的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D. “仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为

10.  关于的说法，正确的是(    )

A. 展开式中的二项式系数之和为
B. 展开式中只有第项的二项式系数最大
C. 展开式中第项和第项的二项式系数最大
D. 展开式中第项的系数最小

11.  设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有(    )

A.  B.  C.  D.

12.  件产品中有件合格品，件次品，从这件产品中任意抽取件，则抽出的件产品中至少有件次品的抽法表述正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则______．

14.  的展开式中的系数为______ ．

15.  在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．

16.  已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为            ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数及点，过点作直线与曲线相切．
求曲线在点的切线方程；
求曲线过点的切线的斜率．

18.  本小题分
已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，现从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得有最小值，并完成下面问题．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求的最小值．
条件；
条件；
条件．

19.  本小题分
如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．

20.  本小题分
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共节课
如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
原定的节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理节课，若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

21.  本小题分
不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉．有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里时时，燃料费是元时，而其他与速度无关的费用是元时，问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？

22.  本小题分
已知函数，其中且为常数．
Ⅰ当时，求函数的极小值；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ直接写出函数的零点个数不要求证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当自变量由变到时，，，
函数的平均变化率是，
故选：．
利用平均变化率的定义求解．
本题主要考查了平均变化率的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
结合基本初等函数的求导公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，号窗口提供了种不同的荤菜和种不同的素菜菜品，
某同学到该窗口准备选其中种荤菜和一种素菜作为午餐，则荤菜的选法有种，素菜的选法有种，
则有种；
故选：．
根据题意，由组合数公式分析荤菜和素菜的选法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，则，
则，
故选：．
根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于两人不能同时选报同一个项目，则对应问题是排列问题，
则有种，
故选：．
两人不能同时选报同一个项目，则对应是排列问题，用排列公式进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用排列公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：是等差数列，
，
又，
，即，
．
故选：．
根据是等差数列可得，则，进一步利用进行求解即可．
本题考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由导函数的图像可知，
在处，且其两侧导数符号为左正右负，是极大值，
在处，且其两侧导数的符号为左负右正，是极小值，
在处，且其两侧导数符号为左正右负，是极大值，
所以的极小值点的个数为，
故选：．
根据极值点的定义，结合导函数的图像判断即可．
本题主要考查极值点的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
故的系数为，
故选：．
利用二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对，，A正确；
对，，B正确；
对，，C正确；
对，先排除“礼智”的其余“三常”共有种排法，
再将“礼智”插入到“三常”的个空位置中有种排法，
“礼智”互不相邻的排法总数为，D正确．
故选：．
根据排列数公式，组合数公式的性质，插空法即可分别求解．
本题考查排列数公式，组合数公式的性质，插空法，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：二项式系数和为，故A正确，
展开式中有项，则二项式系数最大的为第和第项，故B错误，C正确，
，，
则展开式中第项的系数为最小，故D正确．
故选：．
根据二项式性质的性质分别进行判断即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据二项式系数的性质进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：，故无论取何值，不可能等于，故A错误；
对于：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于：，故无论取何值，不可能等于，故D错误；
故选：．
分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：直接法：抽出的件产品中至少有件次品有如下可能：
抽出的件产品中恰有件次品的抽法；
抽出的件产品中恰有件次品的抽法；
故抽出的件产品中至少有件次品的抽法为，A错误，B正确；
间接法：法一：这件产品中任意抽取件的抽法为，抽出的件产品中没有次品全为合格品的抽法为，
故抽出的件产品中至少有件次品的抽法为，C正确；
法二：先抽取件次品，再从剩余的件中任取件，抽法为，但个次品的情况重复一次，抽出个次品的抽法为，
故抽出的件产品中至少有件次品的抽法为，D正确；
故选：．
直接法：抽出的件产品中至少有件次品有两种可能：恰有件次品和恰有件次品，运即可算求解；间接法：
法一：件产品中任意抽取件的抽法减去没有次品全为合格品的抽法；
法二：先抽取件次品，再从剩余的件中任取件，减去重复一次的情况个次品．
本题主要考查组合及简单计数问题，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
直接利用数列前项和与第项的关系求解即可．
本题考查了数列的前项和与第项的关系，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
由得，得，
则，即的系数为．
故答案为：．
求出展开式的通项公式，利用的次数为求出的值进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式，利用的次数为求出的值是解决本题的关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：若在区间上单调递增，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
故，
故答案为：．
求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出的取值范围即可．
本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力．
判断四边形为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．

【解答】

解：因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，
设，，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
即，
所以，
所以四边形的面积为．
故答案为：．

17.【答案】解：由，得，
，
则曲线在点的切线方程为，
即；
设切点为，
则，
可得曲线在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，解得或．
曲线的斜率为或． 

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；
设出切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程，代入已知点的坐标求得切点横坐标，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分“在某点处”与“过某点处”，是中档题．
 

18.【答案】解：因为是公差为的等差数列，，
若选，
则，
所以，，
，
当或时，取得最小值；
若选，
则；
，
故当时，取得最小值；
若选．
则；
，
当或时，取得最小值． 

【解析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解；
先求出，然后结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】本小题满分分
证明：如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，分
，，分
，；
，分
与是平面内两条相交直线，
平面分
解：由Ⅰ进一步得，则．
设平面的法向量为，
可取分
设平面的法向量为．
由，得取，得分
分
由于二面角为锐二面角，故所求二面角的余弦值为分 

【解析】以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．
求出平面的法向量和平面的法向量，二面角为锐二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种．
如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，
所以共有种．
若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，
则有种． 

【解析】根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法，即可求解．
分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和，即可求解．
根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法，即可求解．
本题主要考查排列数的求解，掌握除法即倍缩法是解本题的关键，属于中档题．
 

21.【答案】解：设速度为海里时的燃料费是元时，
由题设的比例关系得，其中为比例系数．
由，，得，
于是．
设船的速度为海里时，航行海里所需的总费用为元，
而每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为，
所以航行海里的总费用为．
所以．
令，解得．
因为当时，；当时，，
所以当时，取得最小值．
故当轮船的速度为海里时时，航行海里所需费用总和最小． 

【解析】设速度为海里时的燃料费是元时，求出设船的速度为海里时，航行海里所需的总费用为元，推出利用函数的导数求解函数的最值即可．
本题考查函数的实际应用，函数的导数求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题设，则，
当时，递减；
当时，递增；
所以极小值为．
Ⅱ当时，在上递增，由，
当时，上，上，
所以在上递增，在上递减；
当时，上，上，
所以在上递减，在上递增；
综上，当时，递增区间为，递减区间为；
当时，递增区间为；
当时，递减区间，递增区间为；
Ⅲ当时，，无零点；
当时，令，可得，即有一个零点．
综上，时无零点，时有一个零点． 

【解析】Ⅰ利用导数研究的单调性，进而求极小值即可．
Ⅱ讨论、、，结合导数分别判断的符号，即可确定单调性．
Ⅲ讨论、，根据指数函数性质或令求零点的个数．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值和函数的零点，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．