2023年山东省烟台市重点中学高考数学模拟试卷

2023年山东省烟台市重点中学高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数满足，则复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替(    )

A.
B.
C.
D.

3.  设等差数列的前项和为，已知，，是方程的两根，则能使成立的的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在梯形中，，，则的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设椭圆：的焦点为，，点是与圆的交点，的平分线交于，若，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数满足，若，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数且有一个极大值点和一个极小值点，且，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”从平台的所有主播中，随机选取人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图所示，则下列说法正确的有(    )

 

A. 该平台女性主播占比的估计值为
B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为
C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名
D. 从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为

10.  已知，，且，则下列结论中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知函数，满足，则下列结论正确的是(    )

A. 的值域为 B. 的最小值为
C. 的图象关于直线对称 D. 是偶函数

12.  函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则(    )

A. 的图象关于点对称 B. 是的一个周期
C. 一定存在零点 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______ 用数字作答

14.  一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则的方差 ______ ．
 

15.  圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直其中为入射点，则双曲线的渐近线方程为______ ．

16.  已知数列的前项和为，且，，，则 ______ ；若数列的前项和为，且，，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．

18.  本小题分
已知的三个角，，的对边分别为，，，且．
若，求；
求的值．

19.  本小题分
某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校名学生进行针对性检测检测分为初试和复试，并随机抽取了名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，初试成绩不低于分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
附：若随机变昰服从正态分布，则，，．

20.  本小题分
如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中，．
证明：平面平面；
判断上底面圆周上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．
求该双曲线的方程；
若直线与双曲线在第一象限交于，两点，直线交线段于点，且：：，证明：直线过定点．

22.  本小题分
已知函数，设，为两个不相等的正数，且．
求实数的取值范围；
证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由得，
故复数的虚部为．
故选：．
根据复数的除法法则得到，求出虚部．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图可知众数为，即，
平均数，
显然第一四分位数位于之间，则，
解得，
所以．
故选：．
根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
，，
，，，
，
，
能使成立的的最大值为．
故选：．
利用等差数列的性质，前项和公式，求解即可．
本题主要考查等差数列的性质，前项和公式的运用，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意做上图，

，
，
．
故选：．
将作为基底表示和，根据条件按照数量积的运算规则计算．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设正四棱台形状的高为，
故，解得，
取正方形的中心为，正方形的中心为，则，

故该模型的外接球的球心在上，设为点，连接，，，，
设上底面正方形的边长为，，则，，解得，
故E，，设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径为，该模型的外接球的表面积为．
故选：．
由棱台体积得到棱台的高，并作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积．
本题考查了外接球的表面积计算，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：椭圆：的焦点为，，点是与圆的交点，的平分线交于，
，，由三角形内角平分线定理可知，，所以，
因为是椭圆上的点，可得，所以．
故选：．
利用已知条件，求解，，结合椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于函数满足，
故，即，，
整理得，．
由于，
所以时，，
由于，
所以，所以，，
，
因为，
所以．
故选：．
由已知可得，进而可得，，可求的值．
本题考查三角函数值的计算，考查运算求解能力，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，时，，
又，当时，时，，，所以，
矛盾，故，
由有两不同实数根可知，有两个不同交点，
设过原点与相切的直线为，切点为，
因为，所以，解得，
即，如图，

所以与有两个不同交点则需，解得，
又，所以，此时满足极大值点为，极小值点为，且．
故选：．
根据导数的正负可知不合题意，当时，导数等于有两个根转化为两个函数有个交点，求出的切线，利用数形结合求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：该平台女性主播占比的估计值为，选项正确；
随机抽取一位主播是中年男性的概率为，选项错误；
用分层抽样法抽取名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，选项正确；
随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件，该幸运主播是女性为事件，则，选项错误；
故选：．
通过饼状图和百分比等高堆积条形图中的统计数据计算．
本题考查饼状图和等高条形图的性质等基础知识，考查数据读取和运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，，，所以，当且仅当等号成立，故A正确，
当，，则，故B错误；
因为，所以，故C正确；
当时，则，故D错误．
故选：．
利用基本不等式可得，可判断，选项，特殊值法判断，选项错误．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意，，所以的值域为，故A正确；
因为，
所以，即，解得，，又，
所以当时，的最小值为，故B错误；
由，得的图象关于直线对称，故C正确；
，
，
所以，
所以是奇函数，故D错误．
故选：．
利用辅助角公式化简，再利用，求出，结合三角函数的性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，正弦函数性质的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，由于的图象关于点对称，
所以，故，
所以的图象关于点对称，故A正确，
由得，令，
，
所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，
所以，又，
从而，
所以的图象关于对称，
对于，在中，令，，
所以，
，
由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确
对于，由于的图象关于对称以及得，
又，
所以，
所以是周期为的周期函数，，故D正确，
对于，，，
所以不是的周期，
故选：．
根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数，判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合函数的对称性及周期性可求解，由零点存在性定理即可判断．
本题考查了函数奇偶性，对称性及周期性的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中常数项为．
故答案为：．
依题意可得，再写出展开式的通项，令，求出，再代入计算可得．
本题考查二项式定理，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球的概率为，
记次取到白球的个数为，
则，且，
故，
则．
故答案为：．
记次取到白球的个数为，则，可求得，结合方差的性质即可求得答案．
本题主要考查了二项分布的方差公式，考查了方差的线性性质，属于中档题．
 

15.【答案】和 

【解析】解：设双曲线的方程为，设，，，
故，由此，
所以，将其代入双曲线方程中得，结合，，
所以，解得或舍去，因此，
所以渐近线方程为：和．
故答案为：和．
根据斜率公式可得点，将其代入双曲线方程中，结合结合，，即可解方程求解．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：因为，，
所以，解得，
当时，由，得，
所以，即，
所以，即，
又因为，
所以，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以．
所以，
因为，
所以，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，，
所以．
故答案为：；．
根据已知条件及与的关系，利用等比数列的定义及等比数列的通项公式，结合对数的运算及分组求和法即可求解．
本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由，得，
所以数列为等差数列，所以，得，
所以公差，所以．
当为奇数时，，
当为偶数时，
所以

． 

【解析】根据等差数列的基本量计算即可求解，
由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：若，则．
因为，
所以，
，
整理得．
解得舍，，
因为，所以．
因为．
所以
，

整理得
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
所以． 

【解析】根据，将等式中角，再根据三角恒等变换可得到角的三角函数值，即可求角．
将式中根据三角恒等变换，再利用正余弦定理化角为边可得．
本题主要考查了和差角公式，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：样本平均数的估计值为，
则．
解得所以样本平均数的估计值为．
因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，．
所以所以．
所以估计能参加复试的人数为．
由该学生获一等奖的概率为可知：．
则．
令．．
当时，；当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以所以的最小值为． 

【解析】由频率直方图平均数的计算公式求解即可；
由分析知，，则，由原则求解即可；
由题意可得出，求导，得到函数的单调性和最值，即可求出答案．
本题考查频率分布直方图以及正态分布相关知识，属于中档题．
 

20.【答案】证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径，
，
为弦的中点，且，
，，、平面，
平面，平面，
平面平面．
解：设平面交圆柱上底面于，交于点，
则二面角的大小就是二面角的大小，
分别以下底面垂直于的直线、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，

，底面圆半径为，，
则，设，
，．
设为平面的一个法向量，
由，得：，
令，则平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
由，得：，
令，可得平面的一个法向量，
，
化简得：，解得：或舍，即．
又平面，平面，平面平面，
，，且为的中点，
，
存在点，使得二面角的余弦值为的长为． 

【解析】将面面垂直转化为平面，根据圆和圆柱的性质可证；
建立空间直角坐标系，利用向量可解．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，
又，，联立解得，
所以双曲线的方程为；
由知，双曲线的右焦点为，
设，，则，又，得到，
所以，
又因为，所以，同理可得，
如图，，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
所以，即，
化简得，又，所以，即，
所以直线的方程为，恒过点，
故直线过定点． 

【解析】利用条件直接求出，，从而求出双曲线的方程；
设出，，利用两点间距离公式和点在双曲线上，得到，，再利用条件即可得出结果．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：的定义域是，
，
当时，，则为上的增函数，不符合题意，
当时，令，解得：，
在递减，在递增，
是的极小值点，此时函数的极小值为，
依题意，可得，
故实数的取值范围为
由题意，不妨设，先证明，
要证，即证，
因为，，且在上单调递增，
故只需证明，
令，
则，所以在单调递增，
即当时，，则有，
因为，所以，
故．
再证，即证，因为，，且在上单调递增，
只需证明，
即证，
因为，所以，
故只需证明，
令，
，令，，
当时，所以在上单调递增，
因为时，，于是，
从而可得在上单调递减，故，
所以成立，故，
综上，． 

【解析】求导，分与两种情况研究函数的单调性，依题意，可得；
由可得，构造函数，即可证明，构造函数，即可证明．
本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值、等价转化方法、构造方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．