2023年上海市虹口区重点中学高考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年上海市虹口区重点中学高考数学适应性试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市虹口区重点中学高考数学适应性试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  数列中，”是“是公比为的等比数列”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2.  下列命题中不正确是(    )A. 中位数就是第百分位数
B. 已知随机变量，若，则
C. 已知随机变量，且数为偶函数，则
D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各名学生的身高情况为：男生样本平均数，方差为，女生样本平均数，方差为，则总体样本方差为3.  在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为(    )

圆的面积为；
椭圆的长轴为；
双曲线两渐近线的夹角正切值为；
抛物线的焦点到准线的距离为．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4.  已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数，甲：；乙：为严格减数列，则(    )A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  已知集合，若，则实数 ______ ．6.  不等式的解集为______ ．7.  的二项展开式中项的系数为______ ．8.  已知是关于的方程的一个根，则 ______ ．9.  曲线在处的切线的倾斜角大小为______ ．10.  将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则 ______ ．11.  供电公司为了分析某小区的用电量单位：与气温单位：之间的关系，随机统计了天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表： 气温用电利用最小二乘法得到的回归方程为，则 ______ ．12.  从，，，，中随机选取三个不同的数，在这三个数之积为偶数的条件下，它们的和不小于的概率为______ ．13.  已知，，则的最小值为______ ．14.  如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为______ ．
 15.  如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡当成质点发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率 ______ ．16.  已知定义在上的偶函数满足若，且在单调递增，则满足的的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
设．
判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；
求函数在上的最大值．18.  本小题分
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
证明：平面；
若点在棱上，且二面角为，求的值．
19.  本小题分
新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间潜伏期越长，感染到他人的可能性越高现对个病例的潜伏期单位：天进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表： 年龄人数长期潜伏非长期潜伏岁以上岁及岁以下是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率的知识解释其合理性；
以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有为正整数个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值．
附表及公式：，． 若，则，，．20.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设直线、的斜率分别为、，且．
求证：直线经过定点；
设和的面积分别为、，求的最大值．21.  本小题分
已知．
求函数的极小值；
当时，求证：；
设，记函数在区间上的最大值为，当最小时，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：当时，如时，不是等比数列，充分性不成立，
当“是公比为的等比数列时，成立，必要性成立．
故选：．
由已知结合等比数列的定义分别检验充分必要性即可判断．
本题以充分必要性的判断为载体，考查了等比数列的判断，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：对于：中位数就是第百分位数，选项A正确；
对于：，则，，因此，故B错误；
对于：，函数为偶函数，
，
区间与关于对称，
，故C正确；
对于：分层抽样的平均数，
按分成抽样样本方差的计算公式，故D正确．
故选：．
根据题意，由百分位数的定义即可判断，由二项分布的方差性质即可判断，由正态分布密度曲线的性质即可判断，由方差的计算公式即可判断．
本题考查正态分布，考查二项分布，考查平均数、方差的计算，是中档题．
 3.【答案】 【解析】解：底面圆的半径为，为母线的中点，
过点所截圆的半径为，圆的面积为，故正确；
作轴截面图如图：

，，，则，
在中，由余弦定理可得，故正确；
在与平面垂直且过点的平面内建立平面直角坐标系，
不妨设双曲线的标准方程为，则，即，
把点代入，可得，解得，，
设双曲线两渐近线的夹角为，
，故错误；
不妨设抛物线的标准方程为，则，抛物线上一点的坐标为，

把点代入可得，解得，
抛物线中焦点到准线的距离为，故错误．
正确的个数为个．
故选：．
由点是母线的中点，可得截面圆的半径，得出圆的面积，即可判断；
由已知求出椭圆的长轴长，即可判断；
在与截面的平面垂直且过点的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为，则，即，把点代入解得，得的值，再由二倍角公式求解判断；
建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为，把点代入即可求解．
本题考查圆锥曲线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：的极值点是在上变号零点，
即函数与函数图象在交点的横坐标，
因为时，，时，，，
时，，
将两函数图象画在同一平面直角坐标系中，如图：

时，，
，
结合图象可得当，，，
当，时，，故甲正确；
表示两点与之间的距离，
数形结合得随着的增大，两点之间的距离越来越近，即为递减数列，故乙正确，
故选：．
的极值点为函数与函数图象在交点的横坐标，将两函数图象画在同一坐标系中，数形结合，分析，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：，且，
，．
故答案为：．
根据元素与集合的关系，建立方程，即可求解．
本题考查素与集合的关系，方程思想，属基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由不等式，
由绝对值的意义可得，表示数轴上的对应点，到和对应点的距离之和，
而和对应点的距离之和的最小值为，
故原不等式的解集为．
故答案为：．
由题意，绝对值的几何意义，求得原不等式的解集．
本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：的二项展开式中项的系数为．
故答案为：．
根据二项式定理直接求解即可．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：是关于的方程的一个根，
是关于的方程的一个根，
，
解得．
故答案为：．
利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出．
本题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：，
则，
 曲线在处的切线的斜率，
故该切线的倾斜角大小为．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要导数的几何意义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：向量，与轴非负半轴所成角为，
将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
与轴非负半轴所成角为，，
．
故答案为：．
由向量的几何意义得到，再用向量的数量积公式即可求得．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：由表中数据可得，，
，
回归方程为，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意，
从，，，，中随机选取三个不同的数，
取法有、、、、、、、、、，共种，
其中三个数的积为偶数的有种，
分别为、、、、、、、、，
三个数的和不小于的有种，
分别为、、、、，
则三个数之积为偶数的条件下，
它们的和不小于的概率为．
故答案为：．
根据题意，由列举法分析从，，，，中随机选取三个不同的数的取法，进而可得其中三个数的积为偶数和三个数的和不小于的取法数目，由条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
 13.【答案】 【解析】解：由，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为，
故答案为：．
将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为直线，，三条直线两两垂直，
如图，将图形还原为长方体，
因为，所以即为直线与所成的角的平面角，
则，
因为平面，平面，所以，
在中，由，得，
所以，，
当且仅当时，取等号，
所以三棱锥的体积的最大值为．
故答案为：．
根据直线，，三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，再根据，可得即为直线与所成的角的平面角，由此可求得，从而可得，再根据棱锥的体积公式结合基本不等式即可得解．
本题主要考查了三棱锥的体积公式，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】【解答】解：以为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，，
由题意可得，，则：，，
设，，
则到的距离，解得舍去，
则，
又设：，由，得．
，则，得，
，，
解得．
椭圆的离心率．
故答案为：．
建立直角坐标系，由题意可知，，，求得直线的方程，利用点到直线的距离公式求得、的坐标，再利用到的距离求得点坐标，则可得出，，求解，即可得到椭圆的离心率．
本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立直角坐标系，根据题意求解与，属难题．
 16.【答案】， 【解析】解：因为是偶函数，所以，
由，可得关于对称，
因为，所以，
则，
因为是偶函数，所以，
因为，所以，
则，
所以函数是周期为的周期函数．
因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，
令中，则，则，
又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，
结合函数是周期为的周期函数，
综上可得在，上单调递增，，上单调递减．
因为的最小正周期为，结合图象可知，

在，上单调递增，在上单调递减，
令中，则，则，
当，又，所以，
当，又，所以，
所以当时，，解得．
又因为与均为周期函数，且均为其周期，
所以的的取值范围是，．
故答案为：，．
由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性和周期性，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 17.【答案】解：，
，
，
由此可见函数为非奇非偶函数，最小正周期为，
故函数为：非奇非偶函数，最小正周期为：；

，
当，，当，取得最大值，为，
故函数的最大值为：． 【解析】对函数进行三角恒等变换，代入变量，从而判断函数的奇偶性，利用公式求出最小正周期；
代入变量，化简后进行三角恒等变换，根据变量的取值范围，结合函数图像得出最大值．
本题考察了三角函数的合并化简和二倍角公式，属中档题．
 18.【答案】证明：在三棱锥中，，为的中点．
，且，连接，
，，，得，
则，又，
，得，
，平面；

解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，，
，取平面的一个法向量．
设，则．
设平面的法向量为，
由，取，得，
二面角为，，，
解得舍或，
，则，
，
． 【解析】由已知可得，求解三角形可得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，由二面角为列式求解，从而可求得的值．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
 19.【答案】解：由题意可得，，
所以有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
若潜伏期，由，
所以潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天使合理的；
由于个病例中由个属于长期潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
所以，
，
当时，，
当时，，
所以，，
故当时，取得最大值． 【解析】根据列联表中的数据，计算的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案；
利用正态分布，结合小概率事件进行判断即可；
先求出个患者属于“长潜伏期”的概率，然后利用二项分布的概率公式，再利用作商法判断单调性，即可得到答案．
本题主要考查了独立性检验的应用，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，二次分布概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
证明：设点、，
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意；
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立，消去可得，
，可得，
由韦达定理可得，
则，
所以
，
解得，
即直线的方程为，故直线过定点．
由韦达定理可得，
所以，
，
因为，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为． 【解析】根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；
写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题目．
 21.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
令，
解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取极小值，极小值为；
证明：不妨设，函数定义域为，
可得，
令，
解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，，
，
所以当时，，
故当时，；
由知，
所以，
因为，
不妨设，
此时，
此时函数在区间上最大值为在时的最大值，
所以是，中的较大者，
若，即时，；
若，即时，，
所以当最小时，，此时． 【解析】由题意，对进行求导，利用导数得到的单调性，进而可得极小值；
设，此时将求证，转化成求证，对进行求导，利用导数得到的单调性和极值，进而即可得证；
结合中所得结论，对和进行讨论即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了转化思想和运算能力．