2023年宁夏顶级名校高考数学三模试卷（文科）（含解析）

这是一份2023年宁夏顶级名校高考数学三模试卷（文科）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年宁夏顶级名校高考数学三模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知，复数是实数，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知集合，，则中元素的个数是(    )A.  B.  C.  D. 3.  某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示现以为组距，将数据分组，各组均为左闭右开区间，最后一组为闭区间则下列频率分布直方图正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  命题“存在一个偶数是素数”，则是(    )A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数
C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数5.  如图是一个边长为的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷个点，其中落入白色部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为(    )A.
B.
C.
D. 6.  设，，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格小一决定更换卧室内的灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换一个灯罩需要的丝绸材质布料面积为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，将的面积表示为的函数，则在上的图象大致为(    )
 A.  B.
C.  D. 9.  若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知数列满足，，，，则数列的前项和(    )A.  B.  C.  D. 11.  设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且为等腰三角形，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，在的左边，且下列说法不正确的是(    )A. 异面直线与所成角为
B. 当运动时，平面平面
C. 当，运动时，存在点，使得
D. 当，运动时，三棱锥体积不变
 
 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知向量，且，则 ______ ．14.  九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的，分别为，，则输出的______．
15.  若圆被直线平分，则的最小值为______ ．16.  在各项均为正数的等比数列中公比，若，，，记数列的前项和为则的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好”为庆祝建党周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔名学生参加，其中高一年级人，高二年级人并规定将分数不低于分的得分者称为“党史学习之星”，这名学生的成绩满分为分情况如表所示．  获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”总计高一年级高二年级总计能否有的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？
获得“党史学习之星”的这名学生中，按高一和高二年级采用分层抽样，随机抽取了人，再从这人中随机抽取人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这人中至少有一人是高二年级的概率．
参考公式：，其中．  18.  本小题分
已知函数．
求函数在上的单调递增区间；
在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值．19.  本小题分
如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，是边上一动点．
是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
求多面体的体积．
20.  本小题分
已知椭圆的右焦点为，有两个不同的点、在椭圆上运动，且的最小值为，椭圆的离心率为．
求椭圆的方程；
已知直线：与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.  本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．22.  本小题分
如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．
若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；
若、为上的两点，且，求面积的最大值．
23.  本小题分
设函数，解不等式．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
复数是实数，，．
故选：．
由条件式和复数的乘法运算法则求出复数的代数形式即可．
本题考查复数的概念和四则运算，还考查了计算能力，属基础题．
 2.【答案】 【解析】解：解得，，或；
，有两个元素．
故选：．
解方程组即可得出，从而得出的元素个数．
考查描述法、列举法的定义，以及集合元素的概念．
 3.【答案】 【解析】解：根据题意，填写频率分布表如下：根据题意，频率分布表可得： 分组频数频率合计作出频率分布直方图如下：
故选：．
由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，做出频率分布表，结合分布表，作出频率分布直方图．
本题考查了频率分布直方图的作法与应用问题，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：命题“存在一个偶数是素数”，
则是任意一个偶数都不是素数．
故选：．
根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：边长为的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为，
则，
解得，
据此估计黑色部分的面积为．
故选：．
计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积．
本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用算问题，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意，灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，
则更换一个灯罩需要的丝绸材质布料面积为该圆台的侧面积，
该圆台的侧面积．
故选：．
根据题意，由圆台的侧面积公式直接计算可得答案．
本题考查圆台的侧面积计算，注意圆台侧面积的计算公式，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：在直角三角形中，，，
，
，其周期为，最大值为，最小值为，
故选：．
注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择
本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查了三角形的面积公式．
 9.【答案】 【解析】【解：由题意得函数的定义域为，且，
由得，由得，由得，
在单调递减，在上单调递增，
在区间上不单调，
，解得，
故实数的取值范围为．
故选：．
首先求出的定义域和极值点，题意转化为极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：因为数列满足，，，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，
所以，
所以数列的前项和．
故选：．
判断数列是等差数列，从而可得数列的通项公式，利用裂项求和法即可得解．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求和．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：直线与圆切于点，则，
又为等腰三角形，
，
又为的中点，为中点，
，
又，且，，
由题意得双曲线焦距为，在中，，即，
，即，
双曲线的离心率．
故选：．
根据给定条件，确定，结合圆的切线性质及双曲线定义列式计算，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于，如下图所示：

将平移到，连接易知在中，即为异面直线与所成的平面角，
由正方体的棱长为，利用勾股定理可知，
即为正三角形，所以异面直线与所成角为，即A正确；
对于，连接，，如下图所示：

由为正方体即可得，平面，而平面，
所以，又在线段上，所以，又为正方形，所以，即，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即B正确；
对于，易知点不在平面内，假设，又平面，平面，所以平面，
显然这与平面矛盾，所以假设不成立，即C错误；
对于，当，运动时，由等体积法可知三棱锥体积与三棱锥的体积相等；
易知三棱锥的底面积，易知平面，
所以点到平面的距离为，所以，
即当，运动时，三棱锥体积不变，即D正确；
故选：．
对于，将异面直线通过平移作出其平面角即可得为异面直线所成的平面角为；对于，利用线面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得平面平面对于，假设存在点，使得，导然由线面平行判定定理可得平面，这与平面矛盾，即不存在点，使得；对于，利用等体积法可知，即三棱锥体积不变．
本题考查空间几何体的性质，考查体积问题，考查运算求解能力，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：量，且，
则，
故，．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由程序框图可知
输入，时，满足，则，
第一次执行循环体后，时，满足，则，
第二次执行循环体后，，时，满足，则，
第三次执行循环体后，，时，满足，则，
第四次执行循环体后，，时，满足，则．
故答案为：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，，
当且仅当时，，时取等号，
故的最小值为．
故答案为：．
利用直线过圆心可得，进而由可求最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求代数式的最小值，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：是公比的等比数列，
，又，
或舍去，
由，得，解得或舍去，
，
，
，
，又，故当时，；当时，；当时，；
当或时有最大值，且最大值为．
故答案为：．
根据题意可知，又，从而通过求出与的值可得出，则，，，进一步结合及的单调性即可求出的最大值．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和公式，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．
 17.【答案】解：根据列联表代入计算可得：，
所以有的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关；
由题意可知，
所抽取的名学生高一年级有人，记为，，，，
高二年级有人，设为，，
从这人中随机抽取人的所有基本事件有，，，，，，，，，，
，，，，，共个，
其中至少有一人是高二年级基本事件有，，，，，
，，，，，共个，
故至少有一人是高二年级的概率． 【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；
根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
 18.【答案】解：已知函数，
则，
令，，则，，
因为，所以函数的单调递增区间为；
已知，即，即，
因为，所以，
由余弦定理可得，又，则，
则，所以． 【解析】由已知可得，令，，然后求解即可；
由已知可得，然后结合余弦定理求解的值，进而可得的值．
本题考查了三角恒等变换，余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：取的中点，连接，，
如图所示．
因为是的中点，
所以．

又因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又因为，所以平面平面，
故存在中点使得平面平面．
解：连接，
因为平面平面，
平面平面，，
所以平面，
由题意知易得直角梯形的面积为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
所以，
故所求体积为． 【解析】取的中点，连接，，由中位线定理可知，，再结合线面平行，面面平行的判定定理，即可求证；
连接，由面面垂直垂直推线面垂直判定定理可知，平面，再结合余弦定理，以及棱锥的体积公式，即可求解．
本题主要考查多面体体积的求解，考查转化能力，属于难题．
 20.【答案】解：设，
又，，
所以，，
故，
椭圆的方程为；
联立，解得或，
又在第一象限，所以，
由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设，，直线的方程为，即，
由消去得，
因为、为直线与椭圆的交点，
所以，即，
把换为得，
所以，
所以，
所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 【解析】设，结合离心率可得，的关系，再根据及求出、，即可得解；
首先求出点坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，，，表示出的方程，联立求出，把换为得，即可求出、，从而求出直线的斜率，即可得解．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 21.【答案】解：因为，
所以，
又，
所以在点处的切线方程为，即，
所以在点处的切线方程为．
，
，
因为函数有两个极值点，，
所以有两个根，，
即有两个根，，
所以有两个根，，
即有两个根，，
所以有两个根，，
所以且，，即，
所以且，
所以
，
设，
则，在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，，
所以的取值范围为． 【解析】求导得，由导数的几何意义可得切线的斜率为，又，由点斜式，即可得出答案．
根据题意都可，求导得，则有两个根，，即有两个根，，进而可得且，，即，推出且，则，设，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 22.【答案】解：将代入方程，得，
则的极坐标为．
又与极轴的交点为的极坐标为．
则．
不妨设，，
则，，
所以，的面积


，
所以，当，即时，．
所以，面积最大值为． 【解析】根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；
设，，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 23.【答案】解：，
不等式，即或或，
解得或或，
综上可得原不等式的解集为． 【解析】将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．