2023年上海市春季高考数学试卷（含解析）

2023年上海市春季高考数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数是偶函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  根据下图判断，下列选项错误的是(    )

 

A. 从年开始后，图表中最后一年增长率最大
B. 从年开始后，进出口总额逐年增大
C. 从年开始后，进口总额逐年增大
D. 从年开始后，图表中年的增长率最小

3.  如图，是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是(    )

A. ，，，，为等差数列，，，，，为等比数列
B. ，，，，为等比数列，，，，，为等差数列
C. ，，，，为等差数列，，，，为等比数列
D. ，，，，为等比数列，，，，为等差数列

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  已知集合，，且，则______．

6.  已知向量，，则______．

7.  若不等式，则实数的取值范围为______．

8.  已知圆的一般方程为，则圆的半径为______．

9.  已知事件发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______．

10.  已知正实数、满足，则的最大值为______．

11.  某校抽取名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为，且第一组下限为，则组数为______．

12.  设，则______．

13.  已知函数，且，则方程的解为______．

14.  已知有名男生名女生，现从人中任选人，则恰有名男生名女生的概率为______．

15.  设，且，满足，则的取值范围为______．

16.  已知空间向量，，都是单位向量，且，，与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知三棱锥中，平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点，．
求直线与平面所成角的大小；
证明：平面，并求直线到平面的距离．

18.  本小题分
在中，角，，对应边为，，，其中．
若，且，求边长；
若，，求的面积．

19.  本小题分
为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为，其中为建筑物暴露在空气中的面积单位：平方米，为建筑物的体积单位：立方米．
若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的用，表示；
现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设为底面面积，为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为已知该建筑体推导得出，为层数，层高为米，其中，，试求当取第几层时，该建筑体最小？

20.  本小题分
已知椭圆：
若，求椭圆的离心率；
设、为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点的纵坐标为，且，求的值；
存在过椭圆上一点、且斜率为的直线，使得直线与双曲线仅有一个公共点，求的取值范围．

21.  本小题分
设函数，，其中，、，若对任意均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为．
若，，试问是否为的“控制函数”；
若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值；
若曲线在处的切线过点，且，求证：当且仅当或时，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，由正弦函数的性质可知，为奇函数；
对于，由正弦函数的性质可知，为偶函数；
对于，由幂函数的性质可知，为奇函数；
对于，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数．
故选：．
根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：显然年相对于年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；
年相对于的进口总额是减少的，故C错；
显然进出口总额年的增长率最大，而年相对于年的增量比年相对于年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故年的增长率最小，对．
故选：．
结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．
本题考查统计图的识图问题，以及增长率减少率的计算，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，当是的中点时，与是相交直线；
对于，根据异面直线的定义知，与是异面直线；
对于，当点与重合时，与是平行直线；
对于，当点与重合时，与是相交直线．
故选：．
根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．
本题考查了两条直线间的位置关系应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，
因为若，，则，矛盾；
若，，当，，使得，矛盾；
若，，当，，必有使得，矛盾；
若，当，，必有使得，矛盾；
若，当，，，必有使得，矛盾；
所以选项B中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项D中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项A中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
事实上，只需取即可．
故选：．
由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，若，，则，矛盾；若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾；若，当，，必有使得，矛盾；若，当，，，必有使得，矛盾；即可判断．
本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：集合，，且，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为向量，，
所以．
故答案为：．
根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
故答案为：．
根据绝对值的意义去掉绝对值，利用不等式的性质即可求解．
本题考查了绝对值的不等式的解法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为，
故圆的圆心为，半径为，
故答案为：．
把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．
本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，所以，
故答案为：．
根据求解即可．
本题主要考查互斥事件和对立事件，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
直接利用基本不等式求出结果．
本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

11.【答案】 

【解析】解：极差为，组距为，且第一组下限为，
，故组数为组，
故答案为：．
计算极差，根据组距求解组数即可．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意及二项式定理可得：
．
故答案为：．
根据二项式定理及组合数公式，即可求解．
本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，，解得；
当时，，解得舍；
所以的解为：．
故答案为：．
分和分别求解即可．
本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：从人中任选人的事件个数为，
恰有名男生名女生的事件个数为，
则恰有名男生名女生的概率为，
故答案为：．
根据古典概型求解即可．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，则，
因为，所以，
所以
，
显然当时，原式取最小值，
当时，原式取最大值，
故的取值范围为
故答案为：
引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．
本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题知，，，
再设，且，，，，
代入已知的不等式得，可得，，
所以，解得，
故．
故答案为：．
将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解．
本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：连接，，
平面，
为直线与平面所成的角，
在中，，，
为中点，，

，即直线与平面所成角为；
由平面，平面，，
平面平面，平面，平面，
平面，平面，
，，，，平面，
平面，为直线到平面的距离，
平面，平面，平面平面，
，为中点，为中点，，
直线到平面的距离为． 

【解析】本题考查直线与平面所成的角，考查直线与平面的距离的求法，属中档题．
连接，，为直线与平面所成的角，在中，求解即可；
先证明平面，可得为直线到平面的距离．进则求的长即可．
 

18.【答案】解：因为，且，
由正弦定理可得，
所以，
由为三角形内角可得，，，
因为，
所以；
若，，
由正弦定理得，
由为三角形内角可得，
所以，
由题意可得为锐角，
所以，，，
由正弦定理可得，，
所以，
所以的面积． 

【解析】由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，，，然后结合锐角三角函数即可求解；
由已知结合正弦定理先求出，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：；
由题意，建筑体米，底面面积，
体积，
由，底面周长，
，
“体形系数”，，
计算可得时，最小． 

【解析】直接计算可得；
由题意，建筑体高米，底面面积，可得“体形系数”，可得时，最小．
本题考查由实际问题选择函数类型，考查函数的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：若，则，，，，；
由已知得，，设，
，即，
，，，
，代入求得；
设直线，联立椭圆可得，
整理得，
由，，
联立双曲线可得，整理得，
由，，
，
，
又，，，
综上所述：． 

【解析】由题意可得，，，可求离心率；
由已知得，，设，由已知可得，，求解即可；
设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围．
本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题．
 

21.【答案】解：，设，
，当时，易知，即单调减，
，即，
是的“控制函数“；
，
，
，即为函数的“控制函数“，
又，且，；
证明：，，
在处的切线为，
，，，

，
，
，
，
恒成立，
函数必是函数的“控制函数“，
是函数的“控制函数“，
此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，
在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，
所以曲线在处的切线过点，且，
当且仅当或时，． 

【解析】设，，当时，易知，即单调减，求得最值即可判断；
根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解；
，，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证．
本题考查了导数的综合运用，属于难题．