高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步训练题

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课时跟踪检测 （六） 平面向量基本定理层级(一)　“四基”落实练1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)A.(5e1＋3e2)　　　　　　 B.(5e1－3e2)C.(3e2－5e1)   D.(5e2－3e1)解析：选A　＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．2．已知平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝                                                                                       (　　)A．0   B．1C．－1   D．任意实数解析：选B　因为，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.3．如图，向量a－b等于         (　　)A．－4e1－2e2   B．－2e1－4e2C．e1－3e2   D．3e1－e2解析：选C　不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m 的值为                                                                           (　　)A.   B.C.   D.解析：选C　设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则       (　　)A．＝－＋B．＝－C．＝＋D．＝－解析：选A　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0.答案：07.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于   点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________.解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b.答案：a＋b8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若   ＝a，＝b，用a，b表示，，.解：＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.层级(二)　能力提升练1.如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3.   设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是                            (　　)A．r＝－p＋q   B．r＝－p＋2qC．r＝p－q   D．r＝－q＋2p解析：选A　∵＝－3，∴＝－2＝2.∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.2.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x ＋y，则＋的最小值为                                                           (　　)A.   B．2C.   D.解析：选D　设＝m＋n，＝λ＋μ.∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.∵＋＝x＋y，则x＋y＝2，∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，∴＋的最小值为.3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.答案：1∶44．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，， .解：如图所示，∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.又∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)求证：{a，b}可以作为一个基底；(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，∴{a，b}可以作为一个基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴⇒∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.层级(三)　素养培优练1．(多选)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则，正确的选项有   (　　)A．“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”B．“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”C．“(mn)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”D．“＝”类比得到“＝”解析：选AB　对于A，“a·b＝b·a”是向量的数量积的交换律，根据向量数量积的定义可知是正确的；对于B，“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”是向量数量积对于加法的分配律，这是正确的；对于C，“(a·b)·c＝a·(b·c)”这是错误的，左边是与向量c共线的向量，右边是与向量a共线的向量，其中a·b，b·c都是实数；对于D，“＝”这是错误的，等号右边的向量的除法是无意义的，向量没有除法的概念．2．(多选)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，则下列四个结论中正确的是     (　　)A．|a＋b|>1⇔θ∈B．|a＋b|>1⇔θ∈C．|a－b|>1⇔θ∈D．|a－b|>1⇔θ∈解析：选AD　因为|a＋b|>1，则|a|2＋2a·b＋|b|2>1，可得a·b>－，即|a||b|cos θ＝cos θ>－，所以θ∈，故A正确，B错误．因为|a－b|>1，即|a|2－2a·b＋|b|2>1，可知a·b<，即|a||b|·cos θ＝cos θ<，所以θ∈，故D正确，C错误．3.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，试探求实数a，b的符号．解：如图，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交  直线OP2   于点B，则＝＋.又＝a＋b，所以＝a，＝b.又与方向相同，与方向相反，所以a>0，b<0.