高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时训练

课时跟踪检测（十六）复数的加、减运算及其几何意义

层级(一)　“四基”落实练

1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于     (　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选D　∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象

   限．

2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)

解析：选A　由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.

3．在复平面内，O是坐标原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为                                                                                                                                (　　)

A．2＋8i　 　        B．4－4i　 　             C．6－6i　 　  D．－4＋2i

解析：选B　＝－＝－(＋)＝4－4i.

4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于    (　　)

A．1                 B．               C．2               D．2

解析：选D　由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.故选D.

5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则(　　)

A．a＝－3，b＝－4  B．a＝－3，b＝4

C．a＝3，b＝－4  D．a＝3，b＝4

解析：选A　因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.

6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.

解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.

答案：5

7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.

解析：由已知得，x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，

∴解得

答案：6　11

8．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；

(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．

解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)

＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.

(2)原式＝(－1＋i)＋ ＋(1＋i)

＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.

层级(二)　能力提升练

1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)

A．3  B．2  C．1  D．－1

解析：选D　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，

∴a＝－1.故选D.

2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝________.

解析：由题意知＝，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i.

答案：3－6i

3．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.

解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4.

答案：－4

4．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．

解：∵＝－，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，

∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，

故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．

5．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．

解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，

故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，

又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．

又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.

层级(三)　素养培优练

1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是                                                                                                                                (　　)

A．等腰三角形  B．等边三角形

C．直角三角形  D．等腰直角三角形

解析：选C　因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，因此·＝0，所以⊥，即△OAB一定是直角三角形．

2．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.

(1)求复数z；

(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．

解：(1)∵点A，B对应的复数分别是

z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，

∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，

∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)

＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，

∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.

(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，

代入y＝x，得－2sin2θ＝－，

即sin2θ＝，∴sin θ＝±.

又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或.