高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直测试题
展开课时跟踪检测 （三十二） 平面与平面垂直的判定
层级(一) “四基”落实练
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
解析：选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角αlβ的平面角的大小是 ( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.故选C.
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是 ( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.故选D.
4．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角BADC后，BC＝AB，这时二面角BADC的大小为 ( )
A．60° B．90°
C．45° D．120°
解析：选A ∠BDC为二面角BADC的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.故选A.
5.(多选)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是 ( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选ABD 由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，故平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．
6．在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，
∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
7.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
8.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.求证：平面PQC⊥平面DCQ.
证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD.
又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD.
又∵PD∩AD＝D，
∴CD⊥平面AQPD.
∴CD⊥PQ.
如图，取PD的中点E，连接QE.
∵PD∥QA，且QA＝PD，
∴DE∥AQ，且DE＝AQ.
∴四边形AQED是平行四边形．
∴QE∥AD.∴QE⊥PD.∴DQ＝QP.
设QA＝1，则在△DQP中，DQ＝QP＝，PD＝2.
∴DQ2＋QP2＝PD2.
∴∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.
又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.
∵PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
层级(二) 能力提升练
1．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于 ( )
A．90° B．45°
C．60° D．30°
解析：选A
如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意 可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，
∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.
2．(2022·全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
解析：选A 如图，对于选项A，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又因为AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故选项D错误．故选A.
3.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在 AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1EFC等于45°，则BF＝________.
解析：由题意知EF⊥BC.
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF.
又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F.∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1EFC的平面角，即∠C1FC＝45°.
∵CC1＝AA1＝1，∴CF＝1.又BC＝2，∴BF＝1.
答案：1
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D.求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又∵MN∩A′M＝M，MN⊂平面A′MN，
A′M⊂平面A′MN，∴CD⊥平面A′MN.
∵A′N⊂平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又∵A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
5.如图所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE ＝ 45°.若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小．
解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，
则GB⊥EF，∠GBH是二面角αEFβ的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，
sin∠GBH＝＝.
所以∠GBH ＝ 45°，二面角αEFβ的大小为45°.
层级(三) 素养培优练
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.
解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，
所以∠BDC为二面角BADC的平面角．
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
连接BC(图略)，则BC＝
＝ ＝1.
答案：1
2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求二面角PCDA的余弦值．
解：(1)证明：连接AE.
因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD 所成的角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.
又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，
所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，
所以BA⊥AD.
又因为PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.
又因为PD⊂平面PDA，所以BA⊥PD.
因为BA∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥PD.
(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝.
因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD.
又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.
又因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD.
所以∠PCA为二面角PCDA的平面角．
在Rt△PCA中，PC＝＝＝.
所以cos∠PCA＝＝＝.
所以所求二面角PCDA的余弦值为.
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