高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程学案

第二章　直线和圆的方程

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

基础过关练

题组一　两条直线平行

1.(2022云南曲靖期中)已知直线l1经过点A(-1,2),B(-1,4),直线l2经过点P(2,1),Q(x,6),且l1∥l2,则x=              (　　)

A.2　　　　B.-2

C.4　　　　D.1

2.(2022山东青岛月考)若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点A(2,-1),B(-3,4),则直线l1与l2的位置关系是              (　　)

A.垂直　　　　B.平行

C.重合　　　　D.平行或重合

3.(2022重庆西南大学附中月考)若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是              (　　)

A.

C.2　　　　D.-2

题组二　两条直线垂直

4.(2023广东广州联考)已知直线l1,l2的斜率与方程x2+mx-2=0的两个根分别相等,则              (　　)

A.l1∥l2　　　　

B.l1⊥l2

C.l1与l2相交但不垂直　　　　

D.l1与l2的位置关系不确定

5.(2022江西上饶六校联考)已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=　　　　. 

6.(2023河南郑州八校联考)

(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;

(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.

题组三　两条直线平行和垂直的应用

7.(2022浙江临海校级期中)过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于              (　　)

A.-3　　B.3　　C.-6　　D.6

8.(2022广东江门八校联考)在直角梯形ABCD中,已知点A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直于两底,则顶点D的坐标为　　　　. 

9.(2022四川泸州泸县五中月考)已知l1,l2不重合,直线l1经过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为　　　　. 

10.(2022吉林长春外国语学校月考)已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求点D的坐标;

(2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形.

能力提升练

题组一　直线的平行与垂直

1.(2022河北石家庄期中)已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过P(-2,),Q(m,0)两点,且直线l与l1垂直,则实数m的值为              (　　)

A.-2　　B.-3　　C.-4　　D.-5

2.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若AB⊥CD,则m的值为              (　　)

A.1　　B.2　　C.±1　　D.-2

3.(2022山东日照实验高级中学段考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=              (　　)

A.1　　B.2 023　　C.4 043　　D.4 046

4.如图,在平面直角坐标系Oxy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.

题组二　直线平行与垂直的综合应用

5.(2022江苏淮安月考)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m等于              (　　)

A.

C.4-

6.(2022河北邢台月考)某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的位置为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k).若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=　　　　;若A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为　　　　. 

7.(2023浙江衢州月考)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).

(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;

(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.

8.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长为|AD|=5 m,宽为|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直?

答案与分层梯度式解析

第二章　直线和圆的方程

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

基础过关练

1.A　由A,B两点的坐标知l1的斜率不存在,又l1∥l2,所以l2的斜率也不存在,所以x=2.

2.D　由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合.

3.B　由直线的方向向量为a=(-5,5)得该直线的斜率为=-1,因此直线PQ的斜率为=-1,解得m=-.经检验,m=-符合题意,故选B.

易错警示　当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.

4.C　由直线l1,l2的斜率k1,k2与方程x2+mx-2=0的两个根分别相等,可知k1·k2=-2,∴l1与l2不垂直.

又Δ=m2+8>0,所以方程x2+mx-2=0有两个不等实根,所以l1与l2不平行,故l1与l2相交但不垂直.

5.答案　3

解析　由题意知直线AD,BC的斜率均存在且AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,

即=-1,解得m=3.

6.解析　(1)易得直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.

(2)由题意知,直线l1的斜率k1可能不存在,直线l2的斜率k2一定存在.

当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意;

当直线l1的斜率存在时,a≠5,由斜率公式得k1=,k2=.

由l1⊥l2知k1k2=-1,即×=-1,所以a=0.

综上所述,a的值为0或5.

7.B　由四边形内接于一个圆可得四边形的对角互补.又由题可得∠AOB=90°,所以l1⊥l2,所以=-1,解得k=3.故选B.

8.答案　(-11,2)

解析　设点D(x,y).

由题意可知DC∥AB,DA⊥AB,直线AB的斜率存在且不为0,所以kDC=kAB,kDA·kAB=-1,

即①,×=-1②,

由①②得x=-11,y=2.故顶点D的坐标为(-11,2).

9.答案　-10

解析　由题意可得,直线l1的斜率为,又直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,所以=-2,解得m=-8.

由于直线l3的斜率为-,l2⊥l3,所以-2×=-1,解得n=-2.所以m+n=-10.

10.解析　 (1)由题意知,直线AB,BC的斜率均存在.设D(a,b),∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴∴D(-1,6).

(2)连接AC,BD.由题意及(1)得kAC==1,kBD==-1.

∵kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形.

能力提升练

1.D　由题知,直线l的斜率为tan,直线l1的斜率为.

∵直线l与l1垂直,∴·(-)=-1,

解得m=-5.故选D.

2.C　因为A,B两点的纵坐标不等,所以直线AB与x轴不平行,因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠-3.

当直线AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而当m=-1时,C,D两点的纵坐标均为-1,所以直线CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.

当直线AB与x轴不垂直时,由斜率公式得kAB=,kCD=.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,解得m=1.

综上,m的值为1或-1.

3.C　记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB==-1.

由题意知,过点(2 021,2 022)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.故选C.

4.证明　由题意得,直线BP的斜率为-,直线AC的斜率为-,

∵BE⊥AC,∴-=-1,即pa=-bc.

又直线CP的斜率为-,直线AB的斜率为-,

∴-=-1,∴CF⊥AB.

5.B　如图,由题可知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,

则直线l1的斜率k1=tan 60°=,由l1∥l2,得直线l2的斜率k2=.

∵直线l2是线段AB的垂直平分线,∴直线AB的斜率kAB=.∴,解得m=4+.故选B.

6.答案　∪(1,+∞)

解析　若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k=;当l与直线AB相交时,直线l过线段AB的中点,又线段AB的中点为,所以k==1,kBC=,若A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为∪(1,+∞).

7.解析　(1)设Q(x,y),由已知得kMN=3,又PQ⊥MN,

∴kPQ·kMN=-1,即×3=-1①,由已知得kPN=-2,又PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即-2=②,联立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1).

(2)设Q(x0,0).

∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP,

又kNQ=,kNP=-2,∴=2,解得x0=1,∴Q(1,0),

又M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.

8.信息提取　①四边形ABCD为矩形,|AD|=5 m,|AB|=3 m;②AC⊥DM,且M在BC上.

数学建模　以实际生活中在花园铺设小路为背景,建立平面直角坐标系,将几何问题代数化,然后利用直线的斜率之积为-1建立方程求解.

解析　以点B为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系.

则C(5,0),D(5,3),A(0,3).

设M(x,0),0<x<5.

因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,

所以=-1,解得x==3.2,

所以当|BM|=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直.