2022北京八中高一（下）期中数学（教师版）

2022北京八中高一（下）期中

数    学

一、选择题

1．下列角中与终边相同的角是　　

A． B． C． D．

2．集合，，，，则，之间的关系　　

A． B． C． D．

3．设是第一象限的角，且，则所在的象限是　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．已知，则的值为　　

A． B． C． D．

5．函数的一条对称轴方程是　　

A． B． C． D．

6．要得到的图象，只要将的图象　　

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

7．化简的结果是　　

A． B． C．1 D．

8．已知向量，，，则　　

A． B． C．6 D．12

9．已知是锐角三角形，，，则　　

A． B． 

C． D．与的大小不能确定

10．如图，线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动．以为一边，在第一象限内作矩形，．设为原点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡的横线上．）

11．将化为的形式是 　　．

12．半径为2米，中心角为的扇形的面积为 　　米．

13．设为锐角，若，则的值为 　　，的值为 　　．

14．若，则　　．

15．已知函数，，，且在区间，是单调函数，则　　，的取值范围为 　　．

16．函数的定义域为 　　．

17．等腰梯形中，，，，点在边上运动，则的取值范围为 　　．

18．已知，都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称为，在上的生成函数．

①若，，则是，在上的生成函数；

②若，，则，在上的生成函数的最大值为2；

③若，，则，在上的生成函数的值域为，；

④若，，则，在上的生成函数的所有对称轴方程为，；

⑤若，，则，在上的生成函数的增区间为，，．

其中正确命题的序号是 　　．

三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演步骤.）

19．（15分）平面内给定三个向量，，．

（1）求，；

（2）求；

（3）若，求实数．

20．（15分）化简下列各式．

（1）；

（2）；

（3）．

21．（16分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若，，求函数的取值范围；

（3）①将函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像；

②将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；

③将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像；

从上述三个变换中选择一个变换，使函数在，上有两个零点，并求出零点．

22．（16分）在直角坐标系中，已知点，，，其中．

（1）若，求的值；

（2）设点，求的最大值；

（3）设点，，将表示成的函数，记其最小值为（a），求（a）的表达式，并求（a）的最大值．

23．（16分）对于集合，，，和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．

（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；

（2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；

（3）若集合，，，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值．

参考答案

一、选择题

1．【分析】由与终边相同的角是，，从而即可求解．

【解答】解：与终边相同的角是，，

当时，．

故选：．

【点评】本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题．

2．【分析】根据集合的包含关系即可判断．

【解答】解：集合，，，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了集合的包含关系，属于基础题．

3．【分析】根据已知条件，结合三角函数的符号，即可求解．

【解答】解：是第一象限的角，

是第一或第三象限角，

又，

所在的象限是第一象限．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的符号，属于基础题．

4．【分析】由已知直接利用二倍角的余弦求解．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

5．【分析】利用正弦函数的对称轴方程即可求得答案．

【解答】解：正弦函数的对称轴方程为，

令，

解得，

当时，，

函数图象的一条对称轴方程是，

故选：．

【点评】本题考查正弦函数的对称性，掌握正弦函数的对称轴方程是解决问题的关键，考查整体意识，属于中档题．

6．【分析】由题意，利用诱导公式的应用，函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：要得到的图象，

只要将的图象向左平移个单位即可，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．

7．【分析】利用同角三角函数基本关系式将正切转化成正弦与余弦的比，即可解出．

【解答】解：原式，

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．

8．【分析】利用向量的数量积个数求出；再利用向量的运算律将已知等式展开，将的值代入，求出的值．

【解答】解：

即

解得

故选：．

【点评】本题考查向量的坐标形式的数量积公式、考查向量的分配律．

9．【分析】先化简，然后根据锐角三角形得出，从而得出结论．

【解答】解：

由于是锐角三角形

所以

，

所以

综上，知．

故选：．

【点评】此题考查了两角和与差公式以及三角函数的单调性，对于比较大小，可以采用作差法．

10．【分析】令，由边长为1，2的长方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

【解答】解：如图令，

由于，故，，

如图，

故，

故，同理可求得，

即，，

，，，

，，的最大值是3，最小值是1．

故选：．

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡的横线上．）

11．【分析】根据给定条件直接计算即可求解．

【解答】解：．

故答案为：．

【点评】本题考查了三角函数求值，考查了转化思想，属于基础题．

12．【分析】化度为弧度，再结合扇形面积公式，即可求解．

【解答】解：，半径为2米，

扇形的面积．

故答案为：．

【点评】本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．

13．【分析】根据为锐角，，得到，再利用二倍角公式得到的值．

【解答】解：因为为锐角，

则，，，

所以，

可得．

故答案为：，．

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

14．【分析】将化为，再利用两角和与差的正切公式展开求解即可．

【解答】解：由题意可得．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的正切关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

15．【分析】由题意利用，求得，再根据在区间，是单调函数，求得的范围．

【解答】解：函数，，，

，函数．

在区间，是单调函数，，，则，，

故答案为：；，．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．

16．【分析】由对数函数的真数大于0，求解三角不等式得答案．

【解答】解：由，得，即，

可得，．

函数的定义域为，．

故答案为：，．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查三角不等式的解法，是基础题．

17．【分析】由数量积的几何意义“投影”，即可得到答案．

【解答】解：如图，过作的垂线交于，过作的垂线交于，

则在上的射影点在线段上运动，

所以．

故答案为：，．

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．

18．【分析】根据所给定义判断①，根据二次函数的性质判断②，对于③④，，即可求出函数的对称轴与值域，分类讨论与数形结合判断⑤．

【解答】解：对于①：若，，

设，显然不存在、使得上式成立，故①错误；

对于②：，

所以当时，，故②错误；

对于③④，，

因为，

所以，

即函数的值域为，

当或时，有最大值或最小值，

此时或，，即或，即，

的对称轴方程为，故③正确，④错误；

对于⑤，，

令，

则，所以是的周期，

且，即为偶函数，

当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

当时，函数单调递增，

函数图象如下所示：

综上可得函数的单调递增区间为，故⑤正确；

故答案为：③⑤．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演步骤.）

19．【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；

（2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；

（3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以；

（2）因为，所以，

所以；

（3）因为，

又，

所以，解得．

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．

20．【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．

（3）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．

【解答】解：（1）原式

．

（2）原式．

（3）原式．

【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的恒等变换公式，属于基础题．

21．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求解作答；

（2）由（1）中函数式，求出在给定区间上相位的范围，再借助正弦函数性质求出最值作答；

（3）依次选择变换①②③，求出函数解析式，再利用正弦函数性质讨论零点情况作答．

【解答】解：（1）依题意，，

函数的最小正周期，

由，，得，

函数的单调递增区间是，，．

（2）由（1）知，当，时，，

则当，即时，，当，

即时，，

函数的取值范围是，．

（3）选①：，由（2）知当，时，，

函数在，上无零点，不符合题意；

选②：，由得，

当，时，，于是得或，解得或，

函数在，上有两个零点，两个零点分别为和；

选③：，由，得．

当，时，，，解得，

函数在，上有一个零点，，不符合题意，

选择变换②，两个零点分别为和．

【点评】本题考查三角函数的运算，考查考查三角函数的周期性、单调性、最值、零点等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

22．【分析】（1）由已知中，，，我们可以计算出向量的坐标，进而由，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出的值；

（2）由的坐标，我们可以进而求出向量的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及求出其最大值．

（3）由点的坐标，我们可以求出向量的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将表示成的函数，利用换元法，将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后，即可得到答案．

【解答】解：（1）由已知，得，，（2分）

因为，所以，．（3分）

（2）由已知，，，（5分）

又，（6分）

所以，当时，取得最大值，最大值为4．（8分）

（3）由已知，，

所以，，

设，（10分）

当，即时，（a），

当，即时，（a），

所以，（12分）

因为当时，，当时，（a），

所以（a）的最大值为．（14分）

【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量的综合题，熟练掌握平面向量平行的充要条件，平面向量数量积的运算公式，是解答本题的关键．

23．【分析】由新定义结合三角函数公式分别计算可得．

【解答】解：（1）当集合为，时，

集合相对的“余弦方差；

（2）当集合时，

集合相对于常数的“余弦方差”

此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；

（3）当集合，，，，时，

集合相对于任何常数的“余弦方差”

要是上式是一个常数，则且

由，，，，取或满足上式．

【点评】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属中档题．