2022北京丰台高一（下）期中数学（A卷）（教师版）

2022北京丰台高一（下）期中

数    学（A卷）

练习时间：120分钟

第I部分（选择题  共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

2. 已知向量，且，那么向量可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，点的坐标为，那么点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 复数，则等于（    ）

A.  B. 3 C. 5 D.

5. 在中，，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

6. 已知是方程的两个根，且为锐角，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，那么的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知非零向量满足，且，，那么与夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在直角梯形中，是的中点，，，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

10. 的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.

C.  D.

第II部分（非选择题  共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.

11. 如图，复平面内，向量与复数对应，则_______.

12. 已知单位向量与单位向量夹角为，则=_____.

二、填空题

13. 在中，，且，则________.

14. 一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.

①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟___________米；

②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要________分钟.

15. 已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.

若，以下四个函数中：

①；      ②；

③；     ④.

所有是在上生成的函数的序号为________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16 已知向量.

（1）求；

（2）求与夹角的大小；

（3）若向量与互相平行，求的值.

17. 如图，在平行四边形中，点是中点，是的三等分点（，）.设，.

（1）用表示；

（2）如果，用向量的方法证明：.

18. 已知，，，.

（1）求，的值；

（2）求的值.

19. 大海中有一座小岛，周围3海里处有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东60°；海轮航行4海里后，望见该岛在北偏东45°.求：

（1）此时海轮与小岛的距离为多少海里？

（2）如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理由.

20. 在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求：

（1）值；

（2）角的大小和的面积.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

21. 向量，向量与向量的夹角为，且.

（1）求向量的坐标；

（2）若向量，且向量与向量共线，，其中是的内角，若，试求的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接由复数虚部定义求解即可

【详解】因为复数，

故的虚部为，

故选：B

2. 已知向量，且，那么向量可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设出向量的坐标表示，然后利用数量积的坐标表示得出方程，将答案代入等式验证即可.

【详解】设

即

将四个选项代入验证，只有选项A满足上式.

故选：A.

3. 已知向量，点的坐标为，那么点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设点的坐标为，解方程即得解.

【详解】解：设点的坐标为，

由题得，所以，

所以点的坐标为.

故选：D

4. 复数，则等于（    ）

A.  B. 3 C. 5 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据共轭复数的定义，结合复数模的运算公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A

5. 在中，，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】已知两边和其中一边的对角求另外一边，运用余弦定理即可.

【详解】在中，由余弦定理得：

又

则 解得 或（舍去）

故选：D.

6. 已知是方程的两个根，且为锐角，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两角和的正切公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可,

【详解】因为是方程的两个根，

所以，

因此有，

因为为锐角，所以，因此，

故选：D

7. 已知，，，那么的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角差的余弦公式求，利用二倍角的正弦公式求，利用二倍角的余弦公式求，然后比较大小即可.

【详解】，

，

，

故选：A

8. 已知非零向量满足，且，，那么与夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据求出，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：由题得，所以=0，所以，

所以=，因为，

所以与的夹角为.

故选：B．

9. 如图，在直角梯形中，是的中点，，，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的线性运算把用表示后可得．

【详解】是的中点，

，

又，不共线，

所以，，所以．

故选：C．

10. 的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形内心的性质，结合投影向量的定义进行求解即可.

【详解】因为

所以由平面向量的加法的几何意义可知是的中点，

因为的外接圆圆心为，

所以是以为斜边直角三角形，设的外接圆半径为

因，

所以，因此，

过作，垂足为，

因此，而，

所以向量在向量上的投影向量为，

故选：C

第II部分（非选择题  共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.

11. 如图，在复平面内，向量与复数对应，则_______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据复数在复平面的对应点定义，结合复数的除法运算法则进行求解即可.

【详解】因为点的坐标为，所以，

由题意可知中：，所以有，

故答案为：

12. 已知单位向量与单位向量的夹角为，则=_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据单位向量和夹角计算得到，得到向量模长.

【详解】，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.

二、填空题

13. 在中，，且，则________.

【答案】##30°

【解析】

【分析】先由余弦定理求出A，再由正弦定理求出.

【详解】因为，

所以由余弦定理得：.

因为,所以.

因为，所以由正弦定理得：，所以.

因为，所以,所以.

故答案为：

14. 一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.

①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟___________米；

②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要________分钟.

【答案】    ①. 24；    ②. 20.

【解析】

【分析】（1）求出即得解；

（2）求出他游到河对岸的速度即得解.

【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为，他实际前进速度的大小每分钟24米.

（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为，所以他游到河对岸的需要分钟.

故答案为：24；20.

15. 已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.

若，以下四个函数中：

①；      ②；

③；     ④.

所有是在上生成的函数的序号为________.

【答案】①②③

【解析】

【分析】根据两角差的余弦公式、二倍角公式，结合题中定义逐一判断即可.

【详解】.

①：，

因此有，所以本函数是在上生成的函数；

②：，

因此有，本函数是在上生成的函数；

③：，

因此有，本函数是在上生成的函数；

④：，

显然不存在实数，使得成立，

因此本函数不是在上生成的函数，

故答案为：①②③

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知向量.

（1）求；

（2）求与夹角的大小；

（3）若向量与互相平行，求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用数量积的坐标表示直接代入求解即可；

（2）利用向量夹角公式带入求解即可；

（3）首先求出两向量的坐标，再利用向量平行的坐标表示代入求解即可.

【小问1详解】

【小问2详解】

，

由（1）知：

【小问3详解】

依题意得：

，

向量与互相平行

解得

17. 如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.

（1）用表示；

（2）如果，用向量的方法证明：.

【答案】（1），.   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；

（2）利用数量积为0证明.

【小问1详解】

因为点是的中点，所以.

因为，,所以.

所以，.

【小问2详解】

由（1）可得： ，.

因为，

所以，

所以.

18. 已知，，，.

（1）求，的值；

（2）求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由已知条件利用同角三角函数的关系求出，然后利用二倍角公式可求出，的值；

（2）由求出的值，然后利用两角差的正弦公式求解即可

【小问1详解】

因为，所以，

，

，

；

【小问2详解】

因为，

所以；

所以

.

19. 大海中有一座小岛，周围3海里处有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东60°；海轮航行4海里后，望见该岛在北偏东45°.求：

（1）此时海轮与小岛的距离为多少海里？

（2）如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理由.

【答案】（1）海里；   

（2）没有，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；

（2）根据正弦定理，结合圆的性质进行求解即可.

【小问1详解】

如下图所示：，

在中，，

，

由正弦定理可知中：，

所以此时海轮与小岛的距离为海里；

【小问2详解】

由正弦定理可知：

，

，

所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.

20. 在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求：

（1）的值；

（2）角的大小和的面积.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）若选条件①，利用余弦定理即可求得c边；若选条件②，利用同角三角函数和正弦定理即可求得c边.

（2）利用同角三角函数和正弦定理可得角B,利用面积公式求解面积即可.

【小问1详解】

条件①：当时，，

整理得，解得或（负值舍去）

故.

条件②：,所以

由正弦定理得整理得解得.

【小问2详解】

条件①：

由正弦定理得整理得解得

因，所以，则.

条件②：,所以

,所以，则.

21. 向量，向量与向量的夹角为，且.

（1）求向量的坐标；

（2）若向量，且向量与向量共线，，其中是的内角，若，试求的取值范围.

【答案】（1）（﹣1，0）或（0，﹣1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设（x，y），解方程组即得解；

（2）求出（﹣1，0），，，再利用三角函数的图象和性质求解.

【小问1详解】

解：设（x，y），由题得解得（﹣1，0）或（0，﹣1）．都满足题意.所以（﹣1，0）或（0，﹣1）．

【小问2详解】

解：因为向量，且向量与向量共线，所以（﹣1，0）.

因为，所以.

所以，

所以

因为，

所以，所以.

所以的取值范围为.