2022北京海淀实验中学高一（下）期中数学（教师版）

2022北京海淀实验中学高一（下）期中

数    学

一、单项选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分．

1．若角的终边经过点，则（    ）

A． B．2  C．  D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（    ）

A． B． C．3 D．

4．下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知非零向量，的夹角为60°，且，，则（    ）

A．  B．1  C． D．2

6．已知，则（    ）

A． B． C．  D．

7．已知函数（，）的图像如图所示，则的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

8．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（    ）

A． B． C．与共线 D．

9设函数是定义在R上单调递减的奇函数，若，则（    ）

A．  B．

C．  D．符号不确定

10．对函数的图像分别作以下变换：（    ）

①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；

②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）；

③将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位；

④将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位．

其中能得到函数的图像的是（    ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

11．在中，，则下列结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，已知向量，，，，的起点相同，则（    ）

A． B． C． D．

13．在中，若，则是（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

14．已知，若实数a，b，c满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

15．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

16．如图，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆O（不含A，B两点），P为半圆上一动点，下面关于的说法正确的是（    ）

A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值

C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值

17．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

18．已知函数．Q是的图像上一点，若在的图像上存在不同的两点M，N，使得成立，其中O是坐标原点，则这样的点Q（    ）

A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有且仅有3个 D．可以有无数个

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上．

19．已知向量，，若，则__________．

20．已知，且，则是第__________象限角．

21．已知，则的值为__________．

22．已知当时，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是__________．

23．已知函数（，）在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则__________．

24．在菱形ABCD中，若，则的值为__________．

25．已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的__________（将所有符合题意的序号填在横线上）

①函数在区间上是增函数； ②满足条件的正整数的最大值为3；

③；   ④最小正周期可以为．

三、解答题：本大题共4小题，共40．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

26．某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）函数的解析式为__________（直接写出结果即可）；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间；

（Ⅲ）求函数在区间上的最小值．

27．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

28．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和对称中心；

（2）若当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．

29．已知函数的图象在定义域上连续不断．若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质．

（1）若满足性质，且，求的值；

（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，，同时使得函数满足性质和．（参考数据：）

（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点．

参考答案

一、单项选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分．

1．D 2．B 3．C 4．A 5．D

6．A 7．C 8．D 9．B 10．C

11．D 12．C 13．B 14．B 15．B

16．A 17．C 18．A

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上．

19．2 20．四 21． 22．

23． 24．4 25．①②③

三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

26．解：（Ⅰ）解析式为：

（Ⅱ）函数的单调递增区间为，．

（Ⅲ）因为，所以．

得：．

所以，当即时，在区间上的最小值为．

27．解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，

由题意得，

解得，

则；

（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，

由题意，得，

因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，

用，表示2辆舒适型轿车，用，，表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，

则包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个，

事件E包含的基本事件有：，，，，，，，共7个，故，即所求概率为．

（3）样本平均数，

设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则总共有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6个，

所以，即所求概率为．

28．解：（1）因为

，

所以函数的最小正周期，

因为函数的对称中心为

所以，令，解得，（）

所以对称中心为

（2）由题意可知，不等式有解，即．

由（1）可知，

当时，，

故当，即时，取得最大值，最大值为2．

所以，即实数m的取值范围是．

[解析]本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题，利用三角化简公式将函数化简是解决本题的关键．

（1）先将函数进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）将问题转化为，结合变量的范围求出其最大值即可求解结论．

29．解：（1）因为满足性质，

所以对于任意的，恒成立．

又因为，所以，，

，由可得，

由可得，

所以，．

（2）若正数T满足，等价于（或者），

记，（或者设，），

显然，，

因为，所以，，即．

因为的图像连续不断，

所以存在，，使得，

因此，至少存在两个不等的正数，，使得函数同时满足性质和．

（3）①若，则1即为的零点；

②若，则，，…，

可得，其中．

取即可使得．

所以，存在零点．

③若，则由，可得，

由，可得，

由，可得，其中．

取即可使得．所以，存在零点．

综上，存在零点．