2022北京三十五中高一（下）期中数学（教师版）

2022北京三十五中高一（下）期中

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一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分。每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）

1．　　

A． B． C． D．

2．已知，且，，则角的取值范围是　　

A． B． C． D．

3．已知正方形的边长为1，则　　

A．1 B． C． D．2

4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为　　平方米

A．135 B．270 C．540 D．1080

5．　　

A． B． C． D．

6．已知向量，，，则与的夹角是　　

A． B． C． D．

7．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为　　

A． B． 

C． D．

8．已知，则　　

A． B． C． D．

9．“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．已知函数，在区间，上单调，且对任意实数均有成立，则　　

A． B． C． D．

二、（共6个小题，每题5分，共30分。请将正确答案填写在答题卡相应位置处。）

11．（5分）已知点在的终边上，则　　；　　．

12．（5分）中，，，，则　　．

13．（5分）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则　 　，　 　．

14．（5分）为偶函数，则　　（写出一个值即可）

15．（5分）将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点．若位于函数的图象上，则　　，的最小值为 　　．

16．（5分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．

（1）若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为，甲、乙声波合成后的数学模型为．要使恒成立，则的最小值为；

（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．

①；②；③；④．

则，两种声波的数学模型分别是　　．（填写序号）

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）

17．（13分）已知，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求和的值．

18．（13分）已知向量，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）若，求实数．

19．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的值及的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间，上的值域；

（Ⅲ）直接作出在一个周期内的图象．

20．（13分）在中，，是的中点，若，在线段上运动．

（Ⅰ）若点是线段中点时，求；

（Ⅱ）求的最值．

21．（14分）已知函数的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的单调递减区间；

（Ⅲ）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

22．（13分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为．

（1）写出的“伴随函数” ，并直接写出的最大值；

（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；

（3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为，

①若，，求的值；

②求证：向量的充要条件是．

参考答案

一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分。每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）

1．【分析】由题意，利用诱导该公式，计算求得结果．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导该公式的应用，属于基础题．

2．【分析】直接由，可得为第四象限的角，结合得到选项．

【解答】解：由，，可得为第四象限的角，

又，

．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．

3．【分析】根据数量积的计算公式，便可求出．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查数量积的运算公式．

4．【分析】直接利用扇形面积计算得到答案．

【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为（平方米）．

故选：．

【点评】本题考查了扇形面积，属于简单题．

5．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦公式即可化简求解．

【解答】解：

．

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式以及两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

6．【分析】根据向量、的坐标，分别算出向量、的模和，再用向量的夹角公式算出夹角余弦之值，结合向量夹角的取值范围和特殊角的余弦，即可得到本题答案．

【解答】解：向量，，

由此可得向量、的夹角满足：

，，

故选：．

【点评】本题给出据向量、的坐标，要我们求向量与的夹角，着重考查了向量的数量积运算、平面向量夹角公式标和特殊角的三角函数等知识，属于基础题．

7．【分析】根据图象求出， 和，即可求函数的解析式；

【解答】解：（1）由题设图象知，周期，即．

点在函数图象上，

可得：，

得：，

，

．

故函数的解析式为．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．

8．【分析】由已知展开两角和的正弦，再两边平方求解．

【解答】解：，

，得，

两边平方可得：，即．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．

9．【分析】，可得，．即可判断出结论．

【解答】解：，

，．

化为：，，或，，

“ “是“， “的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．【分析】根据已知条件可得函数的周期以及函数在时取得最大值，在时取得最小值，然后根据正弦函数的性质建立等式关系，进而可以求解．

【解答】解：因为函数在区间，上单调，

且对任意实数均有成立，

则，且函数在时取得最大值，在时取得最小值，

所以，且，解得，

又，所以，

故选：．

【点评】本题考查了正弦函数的单调性以及周期性，考查了学生的理解能力以及运算能力，属于基础题．

二、（共6个小题，每题5分，共30分。请将正确答案填写在答题卡相应位置处。）

11．【分析】利用任意角的三角函数的定义及诱导公式即可求解．

【解答】解：因为点在的终边上，

所以，

．

故答案为：，．

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

12．【分析】由的度数，求出的值，设，，由，及的值，利用正弦定理求出的值，由小于，根据大边对大角得到小于的度数，得到的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．

【解答】解：由，，，

根据正弦定理得：

，

又为三角形的内角，且，

，

则．

故答案为：

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断的范围．

13．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模即可求出．

【解答】解：向量与的夹角为，，，

，

，

，

故答案为：1，

【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题．

14．【分析】根据正弦函数与余弦函数的奇偶性即可求出的关系式，由此即可求解．

【解答】解：因为函数为偶函数，

则，

令，则，

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查了正弦函数的奇偶性，考查了学生的理解能力，属于基础题．

15．【分析】利用函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：将函数图象上的点，向右平移个单位长度得到点，

故有，，

点，，即，．

若位于函数的图象上，则，

的最小值为，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．

16．【分析】（1）由函数的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；

（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．

【解答】解：（1）由题意可知，

又，

，

（2）当时，，，，，

由图象可知（1），排出①，

由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明，的周期不同，

而③④的周期相同，一定包含②，

若②④组合，当时，，与图象不符，

排除④，只能是②③．

故答案为：，②③．

【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）

17．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角差的正切公式即可求解．

（Ⅱ）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解的值，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的正弦公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）因为，

所以；

（Ⅱ），

因为，且，，

所以，解得，可得，

所以．

【点评】本题考查了两角差的正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）利用求模公式计算；

（Ⅱ）利用数量积的定义求解；

（Ⅲ）利用向量垂直的充要条件求解．

【解答】解：（Ⅰ），故；

（Ⅱ），，所以，，；

（Ⅲ），，

由得，解得．

【点评】本题考查数量积的运算和向量垂直的充要条件、模长公式，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简，然后再求值，求最小正周期；

（Ⅱ）由，得，然后利用正弦函数的性质求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）

，

所以，

的最小正周期为；

（Ⅱ）由，得，

所以，

所以，

所以在区间上的值域为，；

（Ⅲ）列表得：

函数图象如下图：

【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）建立平面直角坐标系再求数量积即可；

（Ⅱ）建立平面直角坐标系再求数量积后，再求最值即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知是等腰直角三角形，

因此建立如下图所示的平面直角坐标系，

则，，

当点是线段中点时，，

则，

所以；

（Ⅱ）当在线段上运动，则，

则，

所以，

所以当时，有最小值，

当时，有最大值4．

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）由倍角公式结合辅助角公式化简解析式，由周期得出的值；

（Ⅱ）由正弦函数的性质得出函数的单调递减区间；

（Ⅲ）由正弦函数的性质得出在，上的值域，再结合，得出实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）

，

因为，所以．

（Ⅱ）令，解得，，

即函数的单调递减区间为，，．

（Ⅲ）由题意可得对于任意，都有成立，

因为，，，，所以，，

所以，解得，

所以的取值范围为．

【点评】本题考查了三角函数恒等变换和正弦函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．

22．【分析】（1）根据“伴随函数”的定义写出函数，由辅助角公式知，，其中，从而得其最大值；

（2）由两角和的余弦公式，知，有，，再由平面向量的模长公式，得解；

（3）设，，①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式，可得解；

②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，与满足的条件，可得证；必要性：当时，，，代入的解析式中，即可知．

【解答】解：（1），的最大值为5．

（2），

“伴随向量” ，，

．

（3）设，，

①，

，

，

，

．

②，

，

充分性：

，当且仅当存在使得时，等号成立，其中，，

，即．

必要性：

当时，，，

，

当且仅当，时，等号成立，

，

综上所述，向量的充要条件是．

【点评】本题考查平面向量与三角恒等变换的综合运用，理解新定义，且熟练掌握平面向量的坐标运算、两角和差公式、辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．