2022北京通州高一（下）期中数学（教师版）
展开2022北京通州高一（下）期中
数 学
2022年4月
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数（）是纯虚数，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在复数范围内解方程，则该方程的根为
（A） （B） （C） （D）
（3）在某中学高一年级的名学生中，男生有名，女生有名. 学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中用分层随机抽样的方法选取人，那么应选取的女生人数为
（A） （B） （C） （D）
（4）甲、乙两名射击运动员分别连续6次射击的环数如下：
| 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 |
甲 | 8 | 9 | 9 | 10 | 8 | 9 |
乙 | 9 | 10 | 10 | 7 | 7 | 10 |
根据以上数据，下面说法正确的是
（A）甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差相等
（B）甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数大
（C）甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大
（D）甲射击的环数比乙射击的环数稳定
（5）如图，在平行四边形中，与交于点，，，则下列运算正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知向量，，则
（A） （B） （C） （D）
（8）在等边中，，是的中点，是平面内一点，且，则
（A） （B） （C） （D）
（9）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行. 已知船的速度的大小为，水流速度的大小为. 设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则
（A）， （B），
（C）， （D），
（10）在菱形中，，对角线，交于点，，，，分别是边，，，上的点，若，，，则与的夹角的余弦值是
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）计算： ．
（12）已知向量，，且，则 ．
（13）某校高一年级名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，得到体育成绩的折线图，如图所示. 估计该校高一年级中体育成绩低于分的学生人数是 ；由图判断从分数段 开始连续三个分数段的学生人数方差最大.
（14）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与. 现测得，，，在点测得塔顶的仰角为. 若，，，，则塔高为 ．（精确到）
（参考数值：，）
（15）已知五边形的五个顶点的坐标分别是，，，，，则 ；若是五边形内（或边上）一点，则的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知复数（是虚数单位）.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）如图，复数，在复平面上的对应点分别是，，求.
（17）（本小题13分）
已知向量的模为，向量是单位向量．
（Ⅰ）若与的夹角为，求；
（Ⅱ）若与互相垂直，求证：.
（18）（本小题13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求及.
（19）（本小题15分）
某校为了解学生对2022年北京冬奥会观看的情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，如下：
（Ⅰ）随机抽取的学生测试分数不低于分的学生
有人，求此次测试分数在的学生人数；
（Ⅱ）估计随机抽取的学生测试分数的%分位数；
（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断随机抽取的学生测试分数的平均数和中位数的大小关系.（直接写出结论）
（20）（本小题15分）
已知点，向量，，.
（Ⅰ）若，，三点共线，求实数的值；
（Ⅱ）求与垂直的单位向量的坐标；
（Ⅲ）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标.
（21）（本小题16分）
在四边形中，对角线，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若是锐角三角形，，，求的面积；
（Ⅲ）当时，是否存在实数，使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
2022年4月
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 | （1） | （2） | （3） | （4） | （5） | （6） | （7） | （8） | （9） | （10） |
答案 | A | D | B | D | C | A | B | C | B | C |
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）； （14） （15）；
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本题13分）
解：（Ⅰ）因为复数，
所以，. ……………………4分
所以. ……………………5分
（Ⅱ）如图，，， ……………………9分
所以
. …………………… 13分
（17）（本题13分）
解：（Ⅰ）因为向量的模为，向量是单位向量，
所以，. ……………………2分
因为与的夹角为，
所以 ……………………4分
. ……………………6分
（Ⅱ）因为与互相垂直，
所以. ……………………8分
所以.
所以. ……………………11分
所以. ……………………13分
（18）（本题13分）
解：（Ⅰ）在中，，，，
由正弦定理得， ……………………2分
所以．
所以． ……………………5分
（Ⅱ）在中，，，，
由余弦定理得， ……………………7分
所以．
所以． ……………………10分
由余弦定理得
. ……………………13分
（19）（本题15分）
解：（Ⅰ）由图知，学生测试分数不低于分的频率．
所以抽取的学生人数为（人）. ……………………3分
所以测试分数在的学生人数为（人）. ……………………5分
（Ⅱ）由图可知，测试分数在分以内的学生所占比例为
%%. ……………………7分
所以%分位数一定位于内. ……………………8分
所以. ……………………11分
所以估计随机抽取的学生测试分数的%分位数约为.
（Ⅲ）. ……………………15分
（20）（本题15分）
解：（Ⅰ）因为向量，，，
所以，，. ……………………1分
所以，. ……………………2分
因为，，三点共线，
所以. ……………………5分
所以.
所以. ……………………6分
（Ⅱ）设与垂直的单位向量的坐标. ……………………7分
所以 ……………………9分
所以或
所以，或. ……………………10分
（Ⅲ）设点的坐标为.
所以，. ……………………11分
因为点在线段的延长线上，且，
所以. ……………………13分
所以.
所以 ……………………14分
所以 ……………………15分
所以点的坐标为.
（21）（本题16分）
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，即.
因为，且，
所以.
所以. ……………………1分
所以.
所以. ……………………2分
因为， ……………………3分
所以. ……………………4分
（Ⅱ）因为，所以.
在中，，，
由余弦定理得.
所以.
所以. 解得，或. ……………………5分
当时，由余弦定理得.
所以.
所以此时是钝角三角形，不合题意，舍去. ……………………7分
所以. ……………………8分
所以边上的高.
所以的面积为. ……………………9分
（Ⅲ）因为，，
所以
……………………10分
. ……………………13分
所以当，
即时，取得最小值是.
……………………14分
所以. ……………………15分
所以，或.
所以，或. ……………………16分
所以存在实数，使得的最小值为.
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