2021北京八中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京八中高一（下）期中

数    学

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）

1．（4分）若，且，则角是　　

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．（4分）已知角终边经过点，，则的值为　　

A． B． C．0 D．或

3．（4分）若向量，，则与的夹角等于　　

A． B． C． D．

4．（4分）教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持　　

A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面

5．（4分），，的大小关系是　　

A． B． 

C． D．

6．（4分）使成立的的一个变化区间是　　

A． B．， C．， D．，

7．（4分）已知，且，则　　

A． B． C． D．

8．（4分）函数（其中，的图象的一部分如图所示，则　　

A． B． C． D．

9．（4分）在锐角中，设，．则，的大小关系为　　

A． B． C． D．

10．（4分）已知，则函数的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上）

11．（5分）　　．

12．（5分）已知，则　　．

13．（5分）在中，，，，则的长是　　．

14．（5分）已知向量，的夹角为，，，则　　．

15．（5分）对于函数，给出下列四个命题：

①函数为奇函数；

②存在，使；

③存在，使恒成立；

④存在．使函数的图象关于轴对称；

其中正确的命题序号是　　．

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．已知，，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

17．已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）若，，求的最大值与最小值．

18．的内角，，的对边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．

19．如图所示，在正方体中，、、、分别是、、、的中点．求证：

（1）；

（2）平面；

（3）平面平面．

20．已知函数，且满足_______．

（Ⅰ）求函数的解析式及最小正周期；

（Ⅱ）若关于的方程在区间，上有两个不同解，求实数的取值范围．

从①的最大值为1，②的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，③的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．

21．对于定义域分别是，的函数，，规定：函数

．

（Ⅰ）若函数，，，写出函数的解析式并求函数值域；

（Ⅱ）若，其中是常数，且，，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）

1．【分析】根据三角函数值的符号进行判断即可．

【解答】解：，是第三或第四象限或轴的非正半轴，

，是第一或第四象限或轴的非负半轴，

综上是第四象限的角．

故选：．

【点评】本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号关系是解决本题的关键．

2．【分析】利用三角函数的定义，求出、，即可得到结论．

【解答】解：角的终边经过点，；

，，

，，

；

故选：．

【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

3．【分析】由已知中向量，，我们可以计算出与的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．

【解答】解：，，

，，，，

，，，，

，

，，

，

，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．

4．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面垂直的性质及三垂线定理分析得答案．

【解答】解：①直尺所在直线与地面垂直时，地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；

②直尺所在直线与地面不垂直时，直尺所在的直线必在地面上有一条投影线（直尺在底面上时投影线为直尺本身），

在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，

则地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．

综上，直尺无论怎样放置，在地面总有与直尺所在直线垂直的直线．

故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

5．【分析】利用正切函数在上单调递增的性质即可得到答案．

【解答】解：正切函数在区间上单调递增，

又，

故选：．

【点评】本题考查正切函数在区间上的单调性质，掌握性质是解答的基础，属于基础题．

6．【分析】在单位圆中画出角的三角函数线，根据三角函数线的大小确定角的范围．

【解答】解：如图角的正弦线，余弦线分别是，，

当角的终边与弧相交时，，

此时，

不等式的解集为，，．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数线，利用数形结合根据三角函数线的大小确定角的范围．

7．【分析】利用诱导公式即可得出．

【解答】解：，，

，

，

则，

故选：．

【点评】本题考查了诱导公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得，即可得解．

【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为，

又，

，

当时取最大值，即，可得：，，

，，

，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．

9．【分析】运用特殊值法，令，代入和的表达式，可分别求得和的值，则二者的大小可知．

【解答】解：令，

，，．

故选：．

【点评】考查了两角和与差的余弦函数．对于选择题和填空题来说，用特殊值法有时更便捷．

10．【分析】把的表达式转化成关于的函数可解决此题．

【解答】解：，，

．

，，，

，．

故选：．

【点评】本题考查三角函数、函数思想、配方法，考查数学运算能力，属于中档题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上）

11．【分析】根据可以得到答案．

【解答】解：

故答案为：

【点评】本题主要考查弧度和角度的互化．

12．【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出的值．

【解答】解：将两边平方得：

，

．

故答案为：

【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

13．【分析】由同角三角函数关系式得，由正弦定理得，由此能求出．

【解答】解：在中，，，，

，

解得．

故答案为：．

【点评】本题考查线段长的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力等数学核心素养，是中档题．

14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．

【解答】解：【解法一】向量，的夹角为，且，，

，

．

【解法二】根据题意画出图形，如图所示；

结合图形；

在中，由余弦定理得

，

即．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．

15．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论．

【解答】解：函数，

对于①，函数，故函数不为奇函数，故①错误；

对于②，由于，由于，所以，故，由于，故②正确；

对于③，，所以，故函数的最小正周期为，由于，所以，所以函数的周期为，故③错误．

对于④，存在，，函数的图象关于轴对称，故④正确；

故答案为：②④．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角和的正切函数公式即可得解．

（Ⅱ）利用倍角公式化简后，代入即可求值得解．

【解答】解：（Ⅰ），，且．

，，

．

（Ⅱ）．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，倍角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17．【分析】（Ⅰ）先结合二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性可求；

（Ⅱ）由的范围及正弦函数的性质即可直接求解．

【解答】解：（Ⅰ）；

所以，

令，，

解得，

故函数的单调递增区间为，；

（Ⅱ）由，得，

所以，，

所以，即函数的值域，．

【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0求出的值，即可确定出的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．

【解答】解：（Ⅰ）在中，，

已知等式利用正弦定理化简得：，

整理得：，

即

，

；

（Ⅱ）由余弦定理得，

，

，

，

，

，

的周长为．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

19．【分析】（1）取的中点，连接、，四边则是平行四边形，即可证明；

（2）取的中点，易证四边形为平行四边形，故有，从而证明平面．

（3）由正方体得，由四边形是平行四边形，可得，可证 平面平面．

【解答】证明：（1）取的中点，连接、，四边则是平行四边形，

．

又，．

（2）取的中点，连接、，则，．

又，，

，，

四边形是平行四边形，．

又平面，平面．

（3）由（1）知，又，、平面，、平面，且，，平面平面．

【点评】本题考查证面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，取的中点，是解题的突破口．

20．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数，

若满足①，利用最大值求出的值，写出的解析式，求出最小正周期；

（Ⅱ）令求得方程的解，根据方程在区间，上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数的取值范围．

若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得的值，以下解法均相同．

若满足③，利用的图象过点，代入求出的值，以下解法均相同．

【解答】解：（Ⅰ）函数

，

若满足①的最大值为1，则，解得，

所以；

的最小正周期为；

（Ⅱ）令，得，

解得，；

即，；

若关于的方程在区间，上有两个不同解，则或；

所以实数的取值范围是，．

若满足②的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，

且的最小正周期为，所以，解得；

以下解法均相同．

若满足③的图象过点，

则，解得；

以下解法均相同．

【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．

21．【分析】先根据题意分和讨论来求函数的解析式，进而再求每一段的值域，最后取并集即可得到分段函数的值域；

（Ⅱ）构造，求出，进而可证明．

【解答】解：，则，

当 时，；

当 时，．

所以．

当时，，，此时；

当时，，此时，

所以函数的值域为．

（Ⅱ）令，

则，

于是．

【点评】本题考查分段函数的及其应用，考查函数解析式及其值域的求法，考查转化思想与分类讨论思想，考查数学抽象的核心素养，属于难题．