2021北京陈经纶中学高一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京陈经纶中学高一（下）期中数学（教师版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的.
1、设向量，且，则的值是
A．B．
C．D．
2、如图，是的边中点，则向量=
A．B．
C．D．
3、在 中，已知，，，则角等于
A．B．或
C．D．或者
4、某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是
A．,,B．,,
C．,,D.,,
5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A．B．
C．D．
6、设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件
7、从装3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A．至少2个白球，都是红球B．至少1个白球，至少1个红球
C．至少2个白球，至多1个白球D．恰好1个白球，恰好2个红球
8、根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是
，，有一个解.
，，，有两个解
，，，无解
，，，有一解
A．（1）（2）B.（2）（4）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）
9、锐角中，角的对边分别是且.则边长的取值范围是
A．B．C．D．
10.在中，角的对边分别是若，则最小角的正弦值等于
A．B．C.D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11.某校共有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师的健康情况，抽取一个容量为40的样本，则用分层抽样的方法抽取高级教师、中级教师的人数分别为_________,初级教师的人数为__________.
12．对某高校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务得次数，根据此数据做出了频数与频率得统计表和频率分布直方图如下：
表中_______,=____________,=____________
在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，则至多一人参加社区服务次数在区间内的概率______
13.若向量满足，，，则__________
14.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是________(只需写出一个可能的值)
15.已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为16，则的最小值为________
16.中国有悠久的金石文化，印信金石文化的代表作之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱长为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该正多面体共有_______个面,其棱长为___________.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分
17.（本题14分）已知向量，，
若，求的值；
当时，与共线，求的值；
若，且与的夹角为，求.
18.（本题15分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨）将数据按照，，···，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
求该直方图中的值；
设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
19、（本题12分）已知同时满足下列四个条件中的三个；
eq \\ac(○,1)； eq \\ac(○,2)； eq \\ac(○,3)； eq \\ac(○,4)，
请指出这三个条件，并说明理由；
求的面积.
20、（本题15分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，代表空气污染越严重，其分级如下表：
现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如下：
估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率
分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
记甲城市这6天空气质量指数的方差为.从甲城市12月份空气质量指数的数据中在随机抽取一个记为，若，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的6天数据构成新样本的方差记为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
21、（本题14分）如图，摄影爱好者在某公园处，发现正前方有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为；已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛距离地面的距离按米处理）
求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；
立柱的顶端有一长为2米的彩杆，且绕其中点在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由.
2021北京陈经纶中学高一（下）期中数学
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的。
1．【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得•＝2（x+1）+x＝3x+2＝0，解可得x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
若，则•＝2（x+1）+x＝3x+2＝0，
解可得：x＝﹣；
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．
2．【分析】根据向量加法的三角形法则知，，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．
【解答】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，
，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．
3．【分析】由正弦定理可得sinB＝＝，由于a＝40＞b＝20，可得范围0＜B＜45°，从而可求B的值．
【解答】解：由正弦定理可得：sinB＝＝＝．
由于a＝40＞b＝20，可得0＜B＜45°，
可得：B＝30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查．
4．【分析】由频率分布直方图，求出这组数据的中位数、众数和平均数．
【解答】解：由频率分布直方图知，小于70的有24人，大于80的有18人，
则在[70，80]之间18人，所以中位数为70+≈73.3；
众数就是分布图里最高的小矩形底边的中点，即[70，80]的中点横坐标，是75；
平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05＝72．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数和众数的应用问题，是基础题．
5．【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，
则依题意有：，
因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；
故选：C．
【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．
6．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若“|+|＝||+||”，
则平方得||2+2•+||2＝||2+||2+2||•||，
即•＝||•||，
即•＝||||cs＜，＞＝||•||，
则cs＜，＞＝1，
即＜，＞＝0，即，同向共线，则存在实数λ，使得＝λ，
反之当＜，＞＝π时，满足＝λ，但＜，＞＝0不成立，
即“存在实数λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．
7．【分析】分析出从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．
【解答】解：从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
取球情况有：3个球都是红球；3个球中1个红球2个白球；
3个球中2个红球1个白球；3个球都是白球．
选项A中“至少2个白球“，与”都是红球“互斥而不对立，
选项B中“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件是“有1白球2个红球”或“有2白球1个红球”；
选项C中“至少有2个白球”与“至多1个白球”是对立事件；
选项D中“恰有一个白球”和“恰有两个红球”既不互斥也不对立．
故选：A．
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件的概念，对于两个事件而言，互斥不一定对立，对立必互斥，是基础的概念题．
8．【分析】由题意利用所给的条件逐一考查所给的三角形解的个数是否正确即可．
【解答】解：对（1），若a＝8，b＝16，A＝30°，由正弦定理可得 ，
解得sinB＝1，则，此时该三角形有一解，故（1）正确；
对（2），若b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理可得，
解得 ，根据大边对大角可得C＞B，则C可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故（2）正确；
对（3），若a＝5，C＝2，A＝90°，由正弦定理可得 ，
解得 ，则三角形只有一解，故（3）错误；
对（4）项，若a＝30，b＝25，A＝150°，由正弦定理可得 ，
解得，由A＝150°则B为锐角，
可得三角形有唯一解，故（4）正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形解的个数的确定，属于基础题．
9．【分析】由已知结合正弦定理化简原式可求sinB，进而可求B＝，根据正弦定理结合A的范围，即可求出
【解答】解：∵（acsB+bcsA）＝2csinB，
∴（sinAcsB+sinBcsA）＝2sinCsinB，
∴sin（A+B）＝2sinCsinB，
∴sinC＝2sinCsinB，
∴sinB＝，
∴B＝或B＝
∵△ABC为锐角三角形，
∴B＝，
∴＜A＜，即＜sinA＜1
由正弦定理可得＝，则b＝＝，
此时＜b＜2
综上所述b的取值范围为（，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数的图象和性质，属于中档试题
10．【分析】依题意，可得（20a﹣15b）+（12c﹣20a）＝，继而得b＝a，c＝a，a最小，角A最小，利用余弦定理可得csA＝＝＝，从而可得sinA的值．
【解答】解：∵20a+15b+12c＝，
∴20a（﹣）+15b+12c＝（20a﹣15b）+（12c﹣20a）＝，
∵向量与向量为不共线向量，
∴20a﹣15b＝0且12c﹣20a＝0，
∴b＝a，c＝a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，
∴a最小，
∴csA＝＝＝．
∴sinA＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理与余定理的综合应用，求得b＝a，c＝a，是关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
11．【分析】利用分层抽样的性质列出式子，由此能求出结果．
【解答】解：某校共有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，
为了了解教师的健康情况，抽取一个容量为40的样本，
则用分层抽样的方法抽取高级教师：40×＝12人，
抽取中级教师：40×＝20人，
初级教师抽取：40×＝8人．
故答案为：12，20；8．
【点评】本题考查抽取的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．【分析】（1）由频数，频率和样本容量的关系，可求M＝40，故m值可求，进而求p．
（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，
∴，
∵频数之和为40，
∴10+25+m+2＝40，
∴m＝3，
∴p＝，
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
∴．
（2）这个样本参加社区服务的次数不低于20次的学生共有3+2＝5人，
设在区间[20，25）内的人为{a，b，c}，在区间[25，30）内的人为{e，d}，
则任选2人有（a，e），（a，d），（b，e），（b，d），（c，e），（c，d），（a，b），（a，c），（b，c），（e，d），共10种，
而两人都在[25，30）内共有（e，d）共1种，
故至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率为1﹣．
故答案为：（1）40，0.075，0.125．（2）．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查数形结合的能力，属于基础题．
13．【分析】通过观察条件，容易看出，需对等式两边平方，便能出现，并能求出它的值．
【解答】解：由条件得：＝；
∴．
故答案为：．
【点评】考查向量模的平方等于向量的平方，向量数量积的运算．
14．【分析】由题意画出一种满足条件的图形，求解表面积即可得答案．
【解答】解：由四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，
如图，可取三条侧棱长均为2，底面边长BC＝BD＝2，CD＝1．
其表面积为＝．
故其表面积的一个可能值为．
故答案为：．
【点评】本题考查棱锥表面积的求法，是基础的计算题．
15．【分析】设M（x，y），作出平面区域，根据面积得出关于m，n的等式，利用基本不等式得出最值．
【解答】解：设M（x，y），＝（3，1），＝（1，3）．||＝||＝．
cs＜＞＝＝，∴sin＜＞＝．
令，，以AM，AN为邻边作平行四边形AMEN，
令，，以AP，AQ为邻边作平行四边形APGQ，
∵＝λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n），
∴符合条件的M组成的区域是平行四边形EFGH，如图所示．
∴（m﹣2）•（n﹣2）×＝16．即（m﹣2）（n﹣2）＝2．
∵（m﹣2）（n﹣2）≤，∴2≤，
解得m+n≥4+2．
故答案为：4+2．
【点评】本题考查了平面向量的几何意义，基本不等式，根据区域面积得出关于m，n的关系是解题关键．
16．【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cs45°＝倍．
【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+x+x＝1，解得x＝﹣1．
故答案为：26，﹣1．
【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分
17．【分析】（Ⅰ）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（Ⅱ）利用向量共线的充要条件即可得出；
（Ⅲ）利用数量积、向量模的计算公式即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，解得k＝﹣1；
（Ⅱ）∵k＝1，∴，又，∴＝．
∵与共线，∴，解得λ＝2；
（Ⅲ）∵，∴．
又与的夹角为150°，＝2．
∴＝＝﹣3，
＝＝＝．
【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系、向量共线的充要条件、向量模的计算公式是解题的关键．
18．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．
【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）＝1，
∴a＝0.3；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）＝0.12，
由30×0.12＝3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）＝0.73＜85%；
月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）＝0.88＞85%；
则x＝2.5+0.5×＝2.9吨
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
19．【分析】（Ⅰ）判断三角形的满足的条件，推出结果即可；
（Ⅱ）利用余弦定理求出c，利用面积公式求解△ABC的面积．
【解答】（Ⅰ）解：△ABC同时满足①，③，④．理由如下：
若△ABC同时满足①，②．
因为，且B∈（0，π），所以．
所以A+B＞π，矛盾．
所以△ABC只能同时满足③，④．
因为a＞b，所以A＞B，故△ABC不满足②．
故△ABC满足①，③，④．
（Ⅱ）解：因为a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以．
解得c＝8，或c＝﹣5（舍）．
所以△ABC的面积．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
20．【分析】（Ⅰ）根据甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，即可得到答案；
（Ⅱ）先确定总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用概率的计算公式求解即可；
（Ⅲ）直接比较即可．
【解答】解：（Ⅰ）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，
则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率为．
（Ⅱ）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，
因为（48，80），（48，67），（48，108），（48，150），（48，205），（48，62），
（65，80），（65，67），（65，108），（65，150），（65，205），（65，62），
（104，80），（104，67），（104，108），（104，150），（104，205），（104，62），
（132，80），（132，67），（132，108），（132，150），（132，205），（132，62），
（166，80），（166，67），（166，108），（166，150），（166，205），（166，62），
（79，80），（79，67），（79，108），（79，150），（79，205），（79，62），
所以基本事件数一共有36种，
A表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，
则A＝{（104，108），（104，150），（132，108），（132，150）}，包含4个样本点，
则．
（Ⅲ）．
【点评】本题考查了概率和统计的综合应用，涉及了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是正确表示出总的基本事件数．
21．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（csα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣csα，﹣sinα），由（Ⅰ）知．，利用向量的数量积的坐标表示可求，结合余弦函数的性质可求
另解：由题意可得cs∠MOS＝﹣cs∠NOS，结合余弦定理可得，则有SM2+SN2＝26可求csθ范围
【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．
又，故在Rt△SAB中，可求得，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中，
又，故，即立柱的高度为米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（csα，sinα），α∈[0，2π），
则N（﹣csα，﹣sinα），由（Ⅰ）知．…（8分）
故，，
∵•＝（csα﹣3）（﹣csα﹣3）+（sinα+）（﹣sinα+）＝11（10分）＝＝
由α∈[0，2π）知…（12分）
所以，易知∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，．…（13分）
另解：∵cs∠MOS＝﹣cs∠NOS
∴
于是 得SM2+SN2＝26
从而
【点评】本题考查的是解三角形的应用，解题的 关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．
分组
频数
频率
10
0.25
24
2
0.05
合计
1
空气质量指数
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲
48
65
104
132
166
79
乙
80
67
108
150
205
62