2021北京大峪中学高一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京大峪中学高一（下）期中数学（教师版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京大峪中学高一（下）期中
数 学
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（　　）
A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对
2．（4分）若，，与的夹角θ为45°，则等于（　　）
A．12 B． C． D．﹣12
3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）如果，是两个单位向量，下列四个结论中正确的是（　　）
A．＝ B．＝1 C．≠ D．||2＝||2
5．（4分）要得到函数的图像，只需要将函数y＝sin4x的图像（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．（4分）计算cos20°cos80°+sin160°cos10°＝（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）＝（　　）

A．sin（πx+） B．sin（πx+） C．sin（πx﹣） D．sin（πx﹣）
8．（4分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
9．（4分）函数在区间上的零点之和是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）tan2010°的值为　 　．
12．（5分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ＝　 　；sin2θ＝　 　．
13．（5分）设向量，满足||＝2，||＝3，＜，＞＝60°，则•（+）＝　 　．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•＝1，则•的值是　 　

15．（5分）把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y＝2sin（2x+）；
②该函数图象关于点（）对称；
③该函数在[]上是增函数；
④函数y＝f（x）+a在[]上的最小值为，则．
其中，正确判断的序号是　 　．
三、解答题（6小题，共85分）
16．已知向量，．
（1）求的坐标；
（2）求．
17．已知，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．已知，sinx+cosx＝．
（Ⅰ）求sinx﹣cosx的值；
（Ⅱ）求的值．
19．已知函数f（x）＝sincos﹣．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
20．已知函数在区间上的最大值为6．
（1）求常数m的值以及函数f（x）当x∈时的最小值．
（2）将函数f（x）的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位，得到函数g（x）的图象．
（ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（ⅱ）若关于x的方程2g（x）﹣t＝0在x∈时，有两个不同实数解，求实数t的取值范围．
21．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝2，P为弧上一点．
（Ⅰ）若OA⊥OP，求的值；
（Ⅱ）求的最小值．


2021北京大峪中学高一（下）期中数学
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．【分析】根据象限角的符号特点即可判断．
【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，
故选：C．
【点评】本题考查了象限角的符号无问题，属于基础题．
2．【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可．
【解答】解：，，与的夹角θ为45°，
则＝＝12．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，公式的应用，是基础题．
3．【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．
【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握．
4．【分析】由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；
由向量的数量积的定义，即可判断B；
由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C，D．
【解答】解：A．单位向量是模为1的向量，但方向可不同，故A错；
B.＝||•||•cos＜＞＝cos＜＞，故B错；
C.＝||2＝1，＝||2＝1，故，故C错；
D．||2＝1，||2＝1，故D对．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，属于基础题．
5．【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：要得到函数的图像，只需要将函数y＝sin4x的图像向右平移个单位，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
6．【分析】利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解答】解：cos20°cos80°+sin160°cos10°
＝cos20°cos80°+sin20°sin80°
＝cos（80°﹣20°）
＝cos60°
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．
【解答】解：由图象可得A＝1，再根据T＝﹣＝，可得T＝2，
所以ω＝＝π，
再根据五点法作图可得π×+ϕ＝0，求得ϕ＝﹣，
故函数的解析式为 f（x）＝sin（πx﹣）．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，属于中档题．
8．【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
【解答】解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，
函数取最小值ymin＝﹣3+k＝2，解得k＝5，
∴y＝3sin（x+φ）+5，
∴当当sin（x+φ）取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3+5＝8，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
9．【分析】利用辅助角公式化积，求得函数的零点，作和得答案．
【解答】解：＝，
由，k∈Z，得x＝，k∈Z．
∵x∈，∴x＝，．
则函数在区间上的零点之和是．
故选：D．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查由已知三角函数值求角，是基础题．
10．【分析】取AB的中点C，则＝2﹣＝2﹣3，要使得最小，只需||最小，由此能求出结果．
【解答】解：如图所示，取AB的中点C，则＝2﹣＝2﹣3，
则要使得最小，只需||最小，
而此时，CP⊥OA，此时可根据已知条件OA＝OB＝2，AB＝2，
解得PA＝，PB＝，PC＝，
∴＝2﹣3＝﹣，
∴cos＜＞＝＝＝﹣．
故选：C．

【点评】本题考查向量夹角余弦值的求法，考查向量的数量积、夹角公式等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．【分析】因为2010°＝5×360°+210°而210°＝180°+30°所以根据三角函数的诱导公式得到即可．
【解答】解：tan2010°＝tan（5×360°+210°）＝tan（180°+30°）＝tan30°＝
故答案为
【点评】考查学生运用诱导公式化简求值的能力．
12．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．
【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，
∴cosθ＝＝，
sin2θ＝2sinθcosθ＝2×（﹣）×＝﹣．
故答案为：，﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
13．【分析】利用已知条件，通过向量的数量积化简求解即可．
【解答】解：向量，满足||＝2，||＝3，＜，＞＝60°，则•（+）＝＝4+2×＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．
14．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量的坐标，可得数量积
【解答】解：建立如图坐标系；
则A（0，0），B（2，0），C（2，），E（2，），F（x，）；
∴＝（2，0），＝（x，），＝（2，）；
∴•＝2x＝1⇒x＝，
∴•＝2x+1＝1+1＝2；
故答案为：2

【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查运用坐标法解题，考查运算能力，属于中档题．
15．【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）＝2sin（2x+），由此可得①不正确．求出函数的对称中心为（ ﹣，0），可得②正确．
求出函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，可得③不正确．由于当x∈[0，]时，求得f（x）+a的最小值为﹣+a＝，可得a的值，可得④正确．
【解答】解：把函数y＝sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，
得到函数y＝f（x）＝2sin2（x+）＝2sin（2x+）的图象，
由于f（x）＝2sin（2x+），故①不正确．
令2x+＝kπ，k∈z，求得 x＝﹣，k∈z，故函数的图象关于点（ ﹣，0）对称，
故函数的图象关于点（，0）对称，故②正确．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，
故函数在[]上不是增函数，故 ③不正确．
当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+＝时，f（x）取得最小值为﹣，
函数y＝f（x）+a取得最小值为﹣+a＝，
故a＝﹣2，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，复合三角函数的单调性、对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
三、解答题（6小题，共85分）
16．【分析】利用向量加法、数乘以及数量积的坐标运算公式计算即可．
【解答】解：（1）因为，．
所以＝2（1，0）+（﹣1，2）＝（2，0）+（﹣1，2）＝（1，2）；
（2）＝（1，0）•（2，﹣2）＝1×2+0×（﹣2）＝2．
【点评】本题考查坐标条件下的数量积、向量加法、减法以及数乘运算法则，属于基础题．
17．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，
（Ⅱ）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．
【解答】解（Ⅰ）：因为，，
所以 ＝．
所以 ＝．
（Ⅱ）：因为，，
所以 ＝．
所以 ＝．
【点评】本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题
18．【分析】（1）通过同角三角函数的基本关系式化简求出（sinx﹣cosx）2的值，通过x的范围求出结果即可．
（2）通过化简表达式，直接利用（1）的结果求解即可．
【解答】解：（1）由sinx+cosx＝，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x＝，
即2sinxcosx＝∵（sinx﹣cosx）2＝1﹣2sinxcosx＝
又∵，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx﹣cosx＜0，
故sinx﹣cosx＝﹣…（6分）；
（2）＝＝
＝＝…（12分）；
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的表达式化简与求值，考查计算能力与整体代入的方法的应用．
19．【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sincos﹣
＝sinx﹣（1﹣cosx）
＝sinxcos+cosxsin﹣
＝sin（x+）﹣，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣≤x+≤，
即有﹣1，
则当x＝﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．
20．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的值，可得函数的最小值．
（2）（ⅰ）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（ⅱ）由题意可得，方程sin（2x﹣）＝，在x∈时，有两个不同实数解，再利用正弦函数的图象和性质，求得t的范围．
【解答】解：（1）∵函数＝sin2x+cos2x+1+m＝2sin（2x+）+1+m，
在区间上，2x+∈[，]，
故当2x+＝时，最大值为6＝2+1+m，∴m＝3，即f（x）＝2sin（2x+）+4．
故当2x+＝时，函数f（x）取得最小值为﹣1+4＝3．
（2）（ⅰ）将函数f（x）的图象向下平移4个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象；
再向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，
∴得到函数g（x）的解析式为：g（x）＝2sin（2x﹣）．
（ⅱ）若关于x的方程2g（x）﹣t＝0在x∈时，有两个不同实数解，
在区间上，2x﹣∈[﹣，]，
方程2g（x）﹣t＝0，即方程sin（2x﹣）＝，
根据题意，方程sin（2x﹣）＝，在x∈时，有两个不同实数解，
∴≤＜1，求得2≤t＜4．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
21．【分析】（Ⅰ）先通过倒角运算得出∠POB＝30°，∠APB＝120°，再在△POB中，由余弦定理可求得，然后根据平面向量数量积的定义＝，代入数据进行运算即可得解；
（Ⅱ）以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设P（2cosα，2sinα），其中，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）当OA⊥OP时，如图所示，

∵∠AOB＝120°，∴∠POB＝120°﹣90°＝30°，∠OPB＝，∴∠APB＝75°+45°＝120°，
在△POB中，由余弦定理，得PB2＝OB2+OP2﹣2OB•OPcos∠POB＝22+22﹣2×2×2×cos30°＝，
∴，
又，
∴＝＝＝．
（Ⅱ）以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（2，0），

∵∠AOB＝120°，OB＝2，∴B（﹣1，），
设P（2cosα，2sinα），其中，
则＝（2﹣2cosα，﹣2sinα）•（﹣1﹣2cosα，﹣2sinα）＝﹣2﹣2cosα+4cos2α﹣2sinα+4sin2α
＝﹣2cosα﹣2sinα+2＝﹣4sin（）+2．
∵，∴∈，sin（），
∴当＝，即时，取得最小值为﹣2．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，还涉及余弦定理、三角恒等变换和正弦函数的值域问题等基础知识，遇到规则几何图形，一般可建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．