2021北京十二中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京十二中高一（下）期中

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一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．（5分）若复数，则复数所对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）已知向量，，，若，则　　

A． B．11 C． D．10

3．（5分）和是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是　　

A．和 B．和 

C．和 D．和

4．（5分）某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是　　

A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台

5．（5分）已知，且为锐角，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）对于任意向量，，下列命题中正确的是　　

A．若，则 B． 

C．  D．

7．（5分）已知向量，，，且，则　　

A．3 B． C． D．

8．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则　　

A．或 B． C． D．或

9．（5分）在中，已知，则是　　

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

10．（5分）设，，，则有　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为　　

A． B． C．1 D．4

12．（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为　　

A． B． C． D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

13．（5分）　　．

14．（5分）　　．

15．（5分）若平面向量，都是单位向量，且，则，的夹角为　　．

16．（5分）若实数，满足方程组，则的一个值是　　．（答案不唯一，写出满足条件的一个值即可）

17．（5分）如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为　　．

18．（5分）如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且．

①若，则的值是　　；

②若向量，则的最小值为　　．

三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

19．（10分）已知是虚数单位，复数．

（Ⅰ）当时，求复数的模；

（Ⅱ）若为纯虚数，求实数值．

20．（10分）已知，，，，是坐标原点．

（Ⅰ）若点，，三点共线，求的值；

（Ⅱ）当取何值时，取到最小值？并求出最小值．

21．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最小正周期和对称轴方程；

（Ⅲ）求在上的值域．

22．（12分）锐角中满足，其中，，分别为内角，，的对边．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

23．（14分）定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．

（Ⅰ）设函数，求证：；

（Ⅱ）记向量的相伴函数为，当且时，求的值；

（Ⅲ）将（Ⅰ）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象．已知，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

2021北京十二中高一（下）期中数学

参考答案

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．

【解答】解：，

复数所对应的点的坐标为，在第一象限．

故选：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的云算法则，计算得出结论．

【解答】解：向量，，，

，

则，，

故选：．

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的云算法则，属于基础题．

3．【分析】由题意，和是表示平面内所有向量的一组基底，找出不能作为一组基底的向量方法就是验证它们共线，故对四个选项进行考查，找出共线的那一组即可找到正确选项

【解答】解：由题意和是表示平面内所有向量的一组基底，

选项中，存在一个实数使得，此两向量共线，故不能作为基底，可选；

选项中找不到一个非零实数使得成立，故不能选；

选项与选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，

综上，选项中的两个向量不能作为基底．

故选：．

【点评】本题考查平面向量的基本定理中基底的意义，解题的关键是理解基底中的两个基向量是不共线的，本题的难点是验证向量的共线，对基底的考查是近几年高考的热点，题后要注意总结做题规律

4．【分析】分别求出五棱锥、三棱柱、三棱台和四棱台的顶点个数即可．

【解答】解：对于，五棱锥有个顶点，满足题意；

对于，三棱柱有个顶点，满足题意；

对于，三棱台有个顶点，满足题意；

对于，四棱台有个顶点，不符合题意．

故选：．

【点评】本题考查了棱柱、棱锥、棱台的结构特征与应用问题，是基础题．

5．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦公式，计算求得结果．

【解答】解：，且为锐角，，

则，

故选：．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．

6．【分析】由向量不能比较大小，可判断选项；将向量的终点与向量的起点平移到一起，由三角形的三边关系即可判断选项；由向量的数量积运算即可判断选项；取，为单位向量，即可判断选项．

【解答】解：对于，向量不能比较大小，表示方式有误，故错误；

对于，将向量的终点与向量的起点平移到一起，则，，分别为三角形的三边，

因为在三角形中两边之和大于第三边，可得，

当向量与向量同向时，，

所以，故正确；

对于，，故错误；

对于，当，为单位向量，

则，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查向量的概念、向量的模、向量的数量积，考查逻辑推理能力，属于基础题．

7．【分析】利用，列出含的方程求解即可．

【解答】解：因为，又因为，

所以，解得，

故选：．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题

8．【分析】根据题目中的条件，利用正弦定理可直接求出角的正弦值，依据边的关系可求角的大小．

【解答】解：，，，

由正弦定理，可得：，

或

故选：．

【点评】本题考查的知识点：正弦定理的应用，三角形解的情况，属于基础题．

9．【分析】逆用两角和的正弦可得，利用正弦函数的性质即可判断的形状．

【解答】解：在中，，又，

．

又，

．

为直角三角形．

故选：．

【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦与正弦函数的性质，属于基础题．

10．【分析】由三角函数恒等变换化简可得，，．根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．

【解答】解：，

，

．

，

即有：，

故选：．

【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．

11．【分析】分别令，的中点为，，则可化简式子得，于是为线段的靠近的三等分点，再计算数量积即可得出结论．

【解答】解：中，，，，为所在平面内一点，且满足，

设的中点为，的中点为，则，

，

为线段的靠近的三等分点，

，

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，确定点位置是解题关键，属于中档题．

12．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，然后结合已知及余弦定理可求，代入已知公式即可求解．

【解答】解：因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以，

，

由余弦定理可得，，

所以，

则的面积．

故选：．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

13．【分析】利用复数的四则运算求解．

【解答】解：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．

14．【分析】由题意利用二倍角的正弦公式，求得结果．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．

15．【分析】根据平面向量的数量积求模长和夹角即可．

【解答】解：平面向量，都是单位向量，则，

又，，

，

又，，

，

即，的夹角为．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的应用问题，是基础题

16．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数的应用求出结果．

【解答】解：，

所以①②得：

，

整列，

故，

当时，．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

17．【分析】首先在中，算出，然后在中，利用正弦定理算出，最后在中，利用三角函数的定义即可算出山的高度．

【解答】解：根据题意，可得中，，，

．

中，，，

，

由正弦定理，得，

在中，．

故答案为：300

【点评】本题给出实际应用问题，求山的高度．着重考查了三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．

18．【分析】由可知，点在以为圆心，半径为1的四分之一圆弧上，可以为原点，，分别为，轴建系，将问题坐标化，则问题容易解决．

【解答】解：①：由已知得，故三角形为边长为1的等边三角形，

故．

②：由已知，如图建立平面直角坐标系：由正方形的边长为1，

，，，，，．

由向量得，，，，

得：，解得，．

则，．令，．

故，显然，分子在，上恒成立，

故恒成立，即在，上单调递增，故．

取最小值．

故答案为：，．

【点评】本题考查坐标条件下的向量运算，以及三角代换的应用．属于中档题．

三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

19．【分析】（Ⅰ）将代入得，再利用复数的模长公式即可求解．

（Ⅱ）由复数为纯虚数列出方程组，然后求出．

【解答】解：．

（Ⅰ）当时，，．

（Ⅱ）当复数为纯虚数时，则，．

【点评】本题考查了复数的有关概念，考查了方程思想，属于基础题．

20．【分析】（1）求出向量的坐标，运用平行的条件可判断求解的值．

（2）运用坐标求解数量积，转化为函数求解．

【解答】解：（1），

，

，，三点共线，与共线，，

（2），，，，

，

当时，取得最小值．

【点评】本题考查了向量的坐标运算，结合函数的性质求解最值，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，直接代入即可，

（Ⅱ）根据三角函数的周期公式，对称性进行求解，

（Ⅲ）求出角的范围，利用函数最值与值域关系进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ），

则．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的周期，

由，，得，得，，

即函数的对称轴为，．

（Ⅲ）当时，，，

则，，

则当时，函数取得最小值为，

当时，函数取得最大值为，

即函数的值域为，．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性周期性以及最值性质是解决本题的关键，是中档题．

22．【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理的应用求出的值；

（Ⅱ）利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）锐角中满足，

利用正弦定理：，

整理得，

故，

由于，

故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的，

所以，

由于，整理得．

故，

故．

故．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

23．【分析】通过三角函数的两角差公式展开，并整理成“相伴函数”，即可证明，根据已知条件，并运用三角函数的同角和公式，即可求解，先通过对函数进行平移、伸缩变换得到，再运用向量垂直，其所对应的向量坐标乘积和为零，即可求解．

【解答】，

是“相伴向量” 的“相伴函数”，

记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为，

．

记向量的相伴函数为，

，

当且时，

，，

．

由可得，，

将函数的图象向右平移个单位长度，

得到函数，

将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）

得到，

设，

，，

，，

，

，

，（1）

，

，

又，

当且仅当时，等式（1）成立，

图像上存在点，使得．

【点评】本题主要考查三角函数的图象平移、变换、以及三角函数的同角和公式，并且根据向量垂直，其所对应的向量坐标乘积和为零，是解决本题的关键，本题知识点多，需要学生灵活使用，属于难题．