2021北京四中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京四中高一（下）期中

数    学

（试卷满分 140分  考试时间 120分钟）

Ⅰ  卷  （满分90分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. 已知，，则

2. 是一个任意角，则的终边与的终边

3. 若角的终边上有一点，则的值是 

4. 若，则的值为 

5. 已知向量，向量，则向量与向量的夹角为 

6. 将函数的图像向左平移个单位，所得图像的函数解析式是 

7. 函数是

8. 已知，，则的值为 

9. 已知 ，对任意实数都有，且，则实数的值等于  

10. 关于函数有下述四个结论： 

①    是偶函数；         ② 在区间上单调递增；

③     的最大值为1；      ④ 在区间上有3个零点.

其中所有正确结论的编号是  

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）

11. 已知，，若，则实数的值为_______.   
12. 函数在区间上的最大值为       ，最小值为       ． 
13. 已知是第四象限角，且，则      .
14. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，则函数的解析式为            .

15. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 =       . 
16. 已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为      .

三、解答题（本大题共3小题，共26分.）

17. （本小题7分）

已知，且 .

（Ⅰ）求的值；    

（Ⅱ）求的值.

18. （本小题9分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数的单调递减区间. 

19. （本小题10分）

已知向量，，其中.

（Ⅰ）求及的值；

（Ⅱ）若函数，求的最大值.

II 卷（满分50分）

一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. =

2. 函数的图像经过适当变换可以得到的图像，则这种变换可以是

3. 平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，点，则向量与的夹角的取值范围是  

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

4. 定义运算为：例如，，则函数的值域为         ．
5. 已知函数，某同学描点绘制函数在区间上的草图，部分列表如下：

则      ；函数的单调递增区间是         .

6. 已知函数，其中，. 若对任意恒成立，则

①    ；

②    ；

③    既不是奇函数也不是偶函数；

④    的单调递增区间是．

以上结论正确的是        （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题（本大题共2小题，共23分.） 

7. （本小题13分）

如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．

记△的面积为，△的面积为．

若，求角的值．

8. （本小题10分）

设是定义在区间上的函数，在内任取个数，设，令，如果存在一个常数，使得， 恒成立，则称函数在区间上具有性质.

已知函数，.

（Ⅰ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）试判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由.

（Ⅲ）试判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由.

2021北京四中高一（下）期中数学

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. 【答案】D

【解析】

【分析】根据同角三角函数的关系式先求的值，然后再求的值.

【详解】因为，，所以，

所以.

故选：D.

2. 【答案】C

【解析】

【分析】根据角终边位置的周期性判断出的终边与的终边相同，从而得出答案.

【详解】因为的终边与的终边相同，而的终边与的终边关于轴对称，

所以的终边与的终边关于轴对称.

故选：C.

3. 【答案】A

【解析】

【分析】利用任意角的三角函数的定义结合诱导公式求解．

【详解】角的终边上有一点，

，

又，

，

，

故选：．

4. 【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦的二倍角公式及正弦的和差公式即可求解.

【详解】因为，所以，

即.

故选：C.

5. 【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的夹角公式直接即可求得.

【详解】因为，，

所以，，

所以，又因为，所以.

故选：A.

6. 【答案】A

【解析】

【详解】由三角函数平移的性质和结论可知，将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是:.

本题选择A选项.

7. 【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数．

考点：二倍角公式，诱导公式．

8. 【答案】C

【解析】

【分析】先判断出的范围，求出，利用两角和的余弦公式直接求得.

【详解】因为，所以，所以.

因为，所以.

所以

故选：C

9. 【答案】D

【解析】

【分析】根据得出函数的对称轴即函数取得最值的值，结合求出的值．

【详解】对任意实数都有，

所以函数的对称轴是，此时函数取得最值，

又，

所以，

解得或．

故选：．

10. 【答案】A

【解析】

【分析】先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解．

【详解】由函数解析式易得的定义域，

且对任意，有，

为偶函数，故①正确；

当，易得，，

当时，，易知此时单调递增，故②正确；

由函数解析式易得函数在，上的最大值为2，故③错误；

当，函数，有无数解，故④错误．

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）

11. 【答案】

【解析】

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，计算求得的值．

【详解】，，

若，则，求得实数，

故答案为：．

12. 【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】利用余弦函数的性质，即可求得函数的最值．

【详解】

，

时，函数取得最大值2；

时，函数取得最小值

故答案为：2，；

13. 【答案】

【解析】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式即可得出结论．

【详解】由三角函数定义可知：是第四象限角，

且，则，

可得，

．

故答案为：

14. 【答案】

【解析】

【分析】根据最值求，根据周期求，最后找点代入求.

【详解】由图象知：，

所以，又因为，所以，

所以，

又，所以，即，

又因为，所以，

所以.

故答案：.

15. 【答案】1

【解析】

【详解】试题分析：．

考点：1、向量的数量积运算；2、向量加法．

16. 【答案】

【解析】

【分析】由题意, 当时，≥1能成立，故有，由此求得m范围.

【详解】∵函数，若不等式在区间上有解，

∴≥1在区间上有解，

即当时，≥1能成立

∵，∴，∴则m的最小值为.

故答案为: .

三、解答题（本大题共3小题，共26分.）

17. 【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用平方关系直接求出；

（2）先化简，再把带入即可求值.

【详解】（1）因为，且 ，

所以.

（2）因为

所以.

18. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式把函数化为，然后利用周期公式求函数的周期；

（Ⅱ）利用整体代入的思想求函数的单调区间.

【详解】

（Ⅰ）所以函数的周期为.

（Ⅱ）由，得，

所以函数的单调递减区间为.

19. 【答案】（1），；（2）0.

【解析】

【分析】（1）利用数量积的坐标运算及两角差的余弦求；由向量的坐标加法运算得的坐标，再由向量模的运算公式求的值；

（2）把（1）中求得的结论代入，整理后利用换元法及配方法求的最大值．

【详解】（1），，，，

；

又，，

，

，，；

（2），

令，则，，

则，

则当时，．

II卷（满分50分）

一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

20.【答案】D

【解析】

【分析】根据降幂公式及变名的诱导公式进行化简.

【详解】.

故选：D.

21. 【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据诱导公式，，所以为了得到的图象,只需将的图象沿x轴向右平移个单位长度，故选B.

考点：三角函数的图像变换

【方法点睛】对于三角函数的图像变换：如果变换前后两个函数是同名三角函数，只需考虑变换，“左＋右－”是相对于自变量来说，如果变换之前是，向左或向右平移个单位，注意要提出，即变换为，如果是横向伸缩，如果是伸长或缩短到原来的倍，那要变为，如果是纵向变换，就是“上＋下－”，向上或向下平移个单位，变换为，纵向伸长或缩短到原来的倍，就变换为，如果前后两个函数不同名，就要先根据诱导公式化为同名三角函数，再变换.

22. 【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，设向量与的夹角为，求出、的坐标，由数量积的计算公式计算，由基本不等式求出的取值范围，由此分析可得答案．

详解】根据题意，设向量与的夹角为，

点，点，则，，

则，，，

则，

又由，则，当且仅当时等号成立，

则，又由，

故，即向量与的夹角的取值范围是，

故选：．

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

23. 【答案】[-1,]

【解析】

【详解】

由题设可得，在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数的图像如图，结合图像可知：，故函数的值域为，应填答案．

24. 【答案】    ①. ；    ②.

【解析】

【分析】根据表格可求得函数的解析式，从而可求的值；然后再利用整体代入法求函数的单调递增区间.

【详解】因为，，

所以，

又时，；时，，

所以，所以，

所以；

由，得，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：；.

25. 【答案】①③

【解析】

【分析】根据辅助角公式对函数进行化简；然后利用已知条件中的不等式恒成立，得到，从而求的值；再通过整体思想研究函数的性质即可.

【详解】，其中，

因为对任意恒成立，

所以，即，

所以，所以，

所以，故①正确；

，

，

所以，故②错误；

，易知当时，函数为偶函数，

当时，函数为奇函数，而我们求出，所以既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；

因为，

所以当为偶数时，，

所以当为奇数时，，所以的值不同函数在某个区间上的单调性不同，故④错误.

故答案为：①③.

三、解答题（本大题共2小题，共23分.）

26. 【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由三角函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．

（2）依题意得，，分别求得和的解析式，再由求得，根据的范围，求得的值．

【详解】（1）解：由三角函数定义，得，．

因为，，所以．

所以．

（2）解：依题意得，． 所以，

．

依题意得，即，

整理得．

因为，所以，所以，即．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

27. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）具有性质，证明见解析；（Ⅲ）具有性质，证明见解析.

【解析】

【分析】（Ⅰ）构造函数，，只需求函数的最大值即可；

（Ⅱ）根据函数在上单调递增，得到即可得到结果；

（Ⅲ）先判断函数，的单调性，设出，，根据函数的单调性得到即可证明.

【详解】（Ⅰ）设，，

则在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，

又因为对任意，不等式恒成立，所以只需.

（Ⅱ）函数在区间上具有性质，证明如下：

由（Ⅰ）知，在上单调递增，

所以对任意的，且，

都有，

所以，

所以，

所以只需取，即可使恒成立，

所以函数在区间上具有性质.

（Ⅲ）函数在区间上具有性质，证明如下：

记，，易知为偶函数，

又，当时，恒成立且不恒为0，

所以在上单调递增，

又为偶函数，所以在上单调递减，

所以对任意的，

且，则

，

所以只需取，即可使恒成立，

故函数在区间上具有性质.