2021北京五中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京五中高一（下）期中

数    学

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．

1．（5分）　　

A． B． C． D．

2．（5分）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径为，现有体积为的细沙全部漏入下面的圆锥后，恰好堆成一个能盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高度为　　

A． B． C． D．

3．（5分）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（5分）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人．凡三乡，发役三百人，则北乡遣人几何？其意为：现在北乡人口为8100人，西乡人口为7488人，南乡人口为6912人．要从这三个乡镇抽取300人服役，则北乡应抽取多少人？　　

A．104 B．108 C．112 D．120

5．（5分）“复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是　　

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 

B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差 

C．第3天至第11天复工复产指数均超过 

D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量

7．（5分）对于非零向量，，定义运算“”： ，其中为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是　　

A． B． 

C．若，则 D．

8．（5分）已知，是单位圆上（圆心在坐标原点任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，，则的最大值为　　

A．1 B．2 C． D．

9．（5分）如图，在长方体中，，，，动点在棱上，连接，，则的最小值为　　

A．3 B． C． D．

10．（5分）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　．

12．（5分）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为　　．

13．（5分）如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走10米到位置，测得，则塔的高是　　米．

14．（5分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则样本容量为　　，的值为　　．

15．（5分）如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是　　；当时，的取值范围是　　．

三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（13分）已知．

（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

17．（13分）已知平面向量，，，且．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若，求与的夹角．

18．（13分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图样本频率分布直方图．

（Ⅰ）求值并估计中位数所在区间；

（Ⅱ）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为100人中的人准备了纪念品，问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数）

（Ⅲ）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由．

19．（13分）在中，，，分别是角，，的对边，并且．

（Ⅰ）已知_______，计算的面积；

请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．

（Ⅱ）求的最大值．

20．（13分）已知中，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）已知，，若、是边上的点，使，求当面积的最小时，的大小．

21．（10分）已知集合，，，，，，，2，，，对于，，，，，，，，定义与的差为，，，与之间的距离为．

（Ⅰ）若，0，，，1，，求，；

（Ⅱ）证明：对任意，，，有

（ⅰ），且，，；

（ⅱ），，三个数中至少有一个是偶数；

（Ⅲ）对于，，，，，，，，再定义一种与之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．

1．【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

【点评】本题考查正弦的倍角公式．

2．【分析】根据圆锥的体积公式列方程求出沙堆的高．

【解答】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为，

则沙堆的体积为，

解得，

所以圆锥形沙堆的高度为．

故选：．

【点评】本题考查了圆锥的体积公式应用问题，是基础题．

3．【分析】根据复数的几何意义先求出，即可．

【解答】解：由复数的几何意义知，，

则，

对应的点的坐标为位于第四象限，

故选：．

【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．

4．【分析】根据分层抽样原理，即可求出抽取的数值．

【解答】解：三个乡镇总人口有（人，

从这三个乡镇抽取300人，北乡应抽取（人．

故选：．

【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．

5．【分析】利用复数在复平面的几何意义，结合充要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：复数为纯虚数的充要条件是：且；即与它对应的点在轴上除去原点之外的点，

故由复数是纯虚数，可推出复平面内的点在虚轴上，

由复平面内的点在虚轴上，不能推出复数是纯虚数，

故“复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题考查了充要条件的判断及复数的几何意义，考查了对复数相关概念的理解，属于基础题．

6．【分析】观察折线图判断各选项．

【解答】第8天比第7天的复工指数和复产指数均低，错；

这11天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差：两者最高差不多，但最低的复工指数比复产指数低得多，错；

第3天至第11天复工复产指数均超过，正确；

第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，错误．

故选：．

【点评】本题考查的是识图能力，其中涉及极差的概念考察，属于基础题．

7．【分析】利用向量的数量积的运算和排除法求出结果．

【解答】解：非零向量，，定义运算“”： ，其中为，的夹角．

故：①，

故正确．

②，

则：或，

所以：和共线，

故：正确．

③由于：，

故：正确，

所以利用排除法得到：错误．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

8．【分析】设，则，，则，由此能求出的最大值．

【解答】解：设，则，，

，

的最大值为1．

故选：．

【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查单位圆、三角函数的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

9．【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，设，利用空间两点间距离公式表示出，然后转化为平面中到两定点距离之和的最小值问题进行研究，即可得到答案．

【解答】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，设，

则

，

上式可以看出平面直角坐标系下点与点和点的距离之和，

又点关于轴的对称点为，

所以，

故的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查了空间中距离最小值问题，解题的关键是要把空间问题转化为平面问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力以及空间想象能力，属于中档题．

10．【分析】由题意可得，，且，，再由题意可得存在整数，满足，

求得的最小值，可得，由此求得的取值范围．

【解答】解：由题意可得，，即，，即．

再由，即，

即存在极值点，满足，

即存在整数，满足，

即存在整数，满足，

即存在整数，使得足 能成立，

故 应大于的最小值．

而的最小值为，

，即，，

求得，或，

故选：．

【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，不等式的性质，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．

【解答】解：由，得，

的虚部为．

故答案为：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

12．【分析】根据斜二侧画法得到三角形为直角三角形，且其底面边长，高，，然后求三角形的周长即可．

【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形为直角三角形，底面边长，高，

，

直角三角形的周长为．

故答案为：12．．

【点评】本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．

13．【分析】设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，

，，，由正弦定理可求，从而可求即塔高

【解答】解：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，

从而有，

在中，，，，

由正弦定理可得，

可得，

则

故答案为：

【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．

14．【分析】由频数分布表得，的频数为20，频率为0.4，求出样本容量，进而求出，，再由频率分布直方图求出，，由此能求出的值．

【解答】解：由频数分布表得，的频数为20，频率为0.4，

样本容量为，

，，

由频率分布直方图得，．

．

故答案为：50，510．

【点评】本题考查频率分布直方图的运算，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，得到的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的范围．

【解答】解：如图，，点在由射线，

线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，

且，由向量加法的平行四边形法则，

为平行四边形的对角线，

该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，

的取值范围是；

当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，，

的取值范围是，．

故答案为：；，

【点评】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．

三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递减区间；

（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域．

【解答】解：（Ⅰ）．

故函数的最小值正周期为．

令：，

解得，

故函数的单调递减区间为：．

（Ⅱ）由于，

所以，

所以，

整理得：

即，，即当时，函数取得最小值为0，当时，函数取得最大值为3．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

17．【分析】（1）根据，可得，从而解出，从而得出，利用向量的模的运算以及二次函数的性质即可求得的最小值；

（2）由，可求得的值，从而可求出与，并设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．

【解答】解：（1），，．

，

解得，

，

，

，

，

当时，取得最小值为13．

（2）若，则，

，

，

，

，，，设与的夹角为，

则，

，，

，

即与的夹角为．

【点评】本题考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘、数量积和模的运算，考查运算求解能力，属于中档题．

18．【分析】（Ⅰ）利用频率之和为1，求出，然后利用频率分布直方图中中位数的定义判断即可；

（Ⅱ）先计算共有多少人纪念品，求出分数在，之间的有18人，从而得到，之间有2人无纪念品，再确定多少分以上的人可以拿到纪念品；

（Ⅲ）选成绩好的6人参加，由频率分布直方图分析即可．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，，

前3组的频率为，

前4组的频率为，

故中位数所在的区间为，；

（Ⅱ）因为人，所以有人没有纪念品，

分数在，之间的有人，

所以分数在，之间的有人没有纪念品，

分数在，之间的共有人，

所以分，

所以本次活动51分以上的人可以拿到纪念品；

（Ⅲ）选成绩最好的同学去参赛，分数在，之间的共有人，

所以选90分以上的人去参赛．

【点评】本题考查了频数、频率、样本容量之间的关系，考查了方程思想，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）由余弦定理知，，．

选择①②：先解得，再由，得解；

选择①③：由正弦定理知，而，解方程组求得，的值，再由，得解；

选择②③：由正弦定理知，由，得解．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，结合两角差的余弦公式和辅助角公式，可得，再由正弦函数的图象与性质，得解．

【解答】解：（Ⅰ），

由余弦定理知，，

，．

选择①②：

，

，即，解得或（舍负），

的面积．

选择①③：

由正弦定理知，，

，，

，

，

由构成的方程组，解得，，

的面积．

选择②③：

由正弦定理知，，

，，

的面积．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

，

，

，

，，

，，

故的最大值为1．

【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、两角和差公式、辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）由已知等式结合正弦定理可得，进一步求得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，可得为直角三角形，且，设，，，在中与中分别利用正弦定理求得、，代入三角形面积公式，再由三角函数求最值．

【解答】解：（Ⅰ），

，

，，得，

又，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，

为直角三角形，且，

，，设，，，

则，在中，由，

得，

由，，得，

在中，由，得，

由

．

，，，，可得当，即时，取得最小值，

故当面积的最小时，．

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）利用新定义求解即可；

（Ⅱ）（ⅰ）设，，，，，，，，，，，，因为，，，故，，然后分两种情况进行讨论，即可证明；

（ⅱ）设，，，，，，，，，，，，记，，，记，0，，，利用中的结论，先推导出，，不可能全为奇数，即可证明；

（Ⅲ）直接定义，然后写出性质即可．

【解答】（Ⅰ）解：因为，0，，，1，，

所以，1，，；

（Ⅱ）证明：（ⅰ）设，，，，，，，，，，，，

因为，，，故，，，2，，，

则，，，，

又，，，，，2，，，

当时，有；

当时，有；

故，；

（ⅱ）设，，，，，，，，，，，，

记，，，

记，0，，，由可知，

，，，，

，，，，

，，，

则中1的个数为，中1的个数为，

设是使得成立的的个数，则有，

由此可知，，，不可能全为奇数，即，，三个数中至少有一个是偶数；

（Ⅲ）定义，，，，则①；②．

【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．