2020北京五十中高一（下）期中数学（教师版）

2020北京五十中高一（下）期中

数    学

一､选择题

1.在中，，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

2.复数=（ ）

A. -4+ 2i B. 4- 2i C. 2- 4i D. 2+4i

3.设，非零向量，“”是“”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.如果中，，，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

6.下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则∥ D. 若，则与不是共线向量

7.设是平面上的两个单位向量，.若，则的最小值是（   ）

A.  B.  C.  D.

8.△ABC中, 如果, 那么△ABC是（ ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形

9.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10.对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B.

C.  D.

二､填空题

11.复数在复平面中所对应的点到原点的距离是________.

12.如果复数是实数，则实数________.

13.若平面向量满足,则向量与夹角为____.

14.如图所示，平面内有三个向量、、，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．

15.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，下列判断：

①若，则角有两个解；

②若，则边上的高为；

③不可能是9.

其中判断正确的序号是______.

三､解答题

16.已知复数，(为实数)，且为实数.

（1）求复数；

（2）求复数的模.

17.锐角在中，，，.

（1）求角的正弦值；

（2）求的面积.

18.已知，，

(1)求；

(2)设的夹角为，求的值；

(3)若向量与互相垂直，求的值．

19.如图所示,在平行四边形中,,分别为,的中点,已知，试用表示

20.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b=a，c=2．

（I）若A=，求C的大小；   

（II）求△ABC面积的最大值．

21.已知=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),且.

(1)用k表示数量积;

(2)求的最小值,并求此时的夹角θ.

2020北京五十中高一（下）期中数学

参考答案

一､选择题

1.【答案】C

【解析】

【分析】

利用正弦定理可直接求得的值.

【详解】由正弦定理得，可得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用正弦定理求边长，考查计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】

试题分析：由已知得，=．

考点：复数的运算.

3.【答案】A

【解析】

，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.

考点：充分必要条件、向量共线.

4.【答案】B

【解析】

【详解】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B

【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

5.【答案】C

【解析】

【分析】

由余弦定理即可得出答案

【详解】

故选：C

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

向量是有方向、有大小的量，在判断向量关系时，要充分考虑到向量的方向性，利用平面向量的性质，决定向量的有大小和方向，结合共线向量的定义进行选择．

【详解】解：选项中，向量不能比较大小，只有模可以比较大小，所以错误；

选项中，因为向量有方向，因而模的大小相等不能说明向量相等，所以错误；

选项中，两个向量相等，说明两向量方向相同，因此是平行向量，所以正确；

选项中，当两个向量为相反向量时，两个向量不相等，但可以是共线向量，所以错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了向量的基本概念、向量的模、向量平行与共线的条件，要准确理解向量的定义是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】

依题意， ，则 ，所以当 时， 有最小值 ，选C.

点睛：本题主要考查了求向量的模，属于基础题. 本题思路：由 ，化为关于 的开口向上的二次函数，在对称轴处取得最小值．选C.

8.【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，

,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.

考点：正弦定理在三角形中的应用.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.

详解】∵A､B､C三点不共线,∴

|+|>|||+|>|-|

|+|2>|-|2•>0与

的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.

【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

设的夹角为，的夹角为，的夹角为，按照题目所定义的新运算逐项判断正误.

【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为．

因为，，由得，故A不正确；

，，不一定共线，故B不正确；

，故C正确；

若，且不共线，则，，故D不正确．

故选：C．

【点睛】本题考查向量的数量积知识迁移，属于中档题.

二､填空题

11.【答案】

【解析】

【分析】

求得复数在复平面内对应点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.

【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，

因此，复数在复平面中所对应的点到原点的距离是.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

12.【答案】

【解析】

【分析】

根据题意得到，解得答案.

【详解】复数是实数，则，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，属于简单题.

13.【答案】

【解析】

设向量与夹角为.

.

解得，所以.

故答案为为：.

14.【答案】6

【解析】

试题分析：

以作为基底，根据平行四边形法则作出向量，然后利用三角形的知识求得，后可得的值．

试题解析：

如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，

则．

在直角△OCD中，因为，∠COD=30°，∠OCD=90°，

所以，，

故，，

即，

所以.

15.【答案】③

【解析】

【分析】

利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于①，若，由余弦定理得，

故，此方程有唯一解，故角有唯一解，所以①错.

对于②，因为，故，即，

又由余弦定理可得，故，

所以即，故，

消元后可得，因，故方程无解，

即满足的三角形不存在，故②错误.

对于③，由余弦定理可得，

整理得到即，故不可能是9，故③正确.

故答案为：③.

【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.

三､解答题

16.【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据复数的类型确定的值，即可得出复数；

（2）由模长公式求解即可.

【详解】（1）

为实数

，则

（2）由（1）可知，则

【点睛】本题主要考查了根据复数的类型求参数以及求复数的模，属于中档题.

17.【答案】（1）；（2）14.

【解析】

【分析】

（1）先求出，再利用正弦定理求解即可；

（2）利用余弦定理求出的值，再求的面积.

【详解】（1）因为是锐角三角形，，所以.

由正弦定理得

所以角的正弦值为.

（2）由余弦定理得.

所以或（舍去）.

所以的面积.

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18.【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．

（2） 把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．

（3）因为向量与互相垂直，所以它们的数量积等于0，解方程求得的值．

【详解】解：（1），，

．

（2），

，

.

(3)因为向量与互相垂直，

所以，

即.因为，

所以，所以.

【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．

19.【答案】，.

【解析】

【详解】分析：根据向量加法的三角形法则，用 ，表示出，，解方程组即可得到答案

详解：,

      解得

所以，

点睛：本题是一道关于向量运算的题目，解答本题的关键是掌握向量加法的三角形法则

20.【答案】（I）C=或C=（II）最大值2

【解析】

【分析】

（I）根据正弦定理求得的值，由此求得的大小，进而求得的大小.（II）设，求得，用余弦定理求得的表达式，代入三角形的面积公式，利用配方法求得面积的最大值.

【详解】解：（I）若，则由得sinB=sinA=，

由于B∈（0，），所以B=或B=．

由于A+B+C=，故C=或C=，

（II）设BC=x，则AC=，根据面积公式，得

，

根据余弦定理，得cos B=，

将其代入上式，得.

由三角形三边关系，有解得，

故当x=2时，取得最大值2．

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理，考查配方法求最值，综合性较强，属于中档题.

21.【答案】（1）=（2）θ=60°.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由平方后可得，可用k表示．

（2）由（1）中函数的解析式，由函数的单调性的定义，可分析出的最小值为f(1)，代入向量夹角公式，可得此时与夹角θ的大小．

试题解析：(1)由

得,

.

.

,

,

∴=.

(2)由(1),得=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时, 的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时的夹角为θ,则cos θ=,∴θ=60°.

点睛:平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，本题中平方后结合，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.