2018北京海淀高一（下）期中数学（教师版）

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2018北京海淀高一（下）期中
数 学 2018.4
学校 班级 姓名 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）sin18°cos12°+cos18°sin12°＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（4分）在△ABC中，已知a＝3，b＝4，，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．1
3．（4分）函数f（x）＝sinxcosx的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
4．（4分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（　　）

A．3 B．6 C． D．12
5．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（　　）

A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
6．（4分）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（　　）

A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE
B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE
C．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立
D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立
7．（4分）在△ABC中，A＜B＜C，则下列结论中不正确的是（　　）
A．sinA＜sinC B．cosA＞cosC C．tanA＜tanB D．cosB＜cosC
8．（4分）在△ABC中，若AC＝2，∠B＝60°，∠A＝45°，点D为AB边上的动点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．存在点D使得△BCD为等边三角形
B．存在点D使得
C．存在点D使得
D．存在点D使得CD＝1
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9．（4分）计算：cos215°﹣sin215°＝　 　．
10．（4分）已知，则tanα的值为　 　．
11．（4分）已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为　 　．
12．（4分）在△ABC中，已知A＝60°，，b＝3，则c＝　 　．
13．（4分）若α，β均为锐角，且满足，，则sinβ的值是　 　．
14．（4分）如图，棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针旋转θ（θ＞0），若旋转后三棱锥D1﹣DC1A1与其自身重合，则θ的最小值是　 　；三棱锥D1﹣DC1A1在此旋转过程中所成几何体的体积为　 　．

三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（11分）已知函数f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．




16．（11分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，∠ACD＝45°，∠BCD＝90°．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求BC的长．

17．（11分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AC⊥CB，侧面B1BCC1⊥底面ABCD，E，F分别是AB，C1D的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面B1BCC1；
（Ⅱ）求证：EF⊥AC；
（Ⅲ）在线段EF上是否存在点G，使得AC⊥平面C1D1G？并说明理由．

18．（11分）正四棱锥S﹣ABCD的展开图如图所示，侧棱SA长为1，记∠ASB＝α，其表面积记为f（α），体积记为g（α）．
（Ⅰ）求f（α）的解析式，并直接写出α的取值范围；
（Ⅱ）求，并将其化简为的形式，其中a，b，c为常数；
（Ⅲ）试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）

参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．
【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°
＝sin（18°+12°）＝sin30°＝，
故选：D．
【点评】本题考查两角和的正弦函数，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
2．【分析】利用正弦定理，即可求得sinA的值．
【解答】解：△ABC中，a＝3，b＝4，，
由正弦定理得，＝，
则sinA＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．
3．【分析】由二倍角公式可得函数y＝sinxcosx＝sin2x≤．
【解答】解：由于函数y＝sinxcosx＝sin2x，而sin2x的最大值等于1，故函数y的最大值等于，
故选：B．
【点评】本题考查二倍角公式，正弦函数的值域，是一道基础题．
4．【分析】由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的正四棱柱，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的直四棱柱，
正四棱柱的底面正方形的对角线长为2，高是3；
所以，底面正方形的边长为：，
该长方体的体积为：＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了由几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是基础题．
5．【分析】由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．
【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
由正弦定理得＝，
解得BC＝＝5．
∴B处与地面目标C的距离为5千米．
故选：B．
【点评】本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．
6．【分析】在A中，CD与EF相交，从而CD与平面ABFE相交；在B中，DE与EF不垂直，从而不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE；在C中，DE∥CF，从而在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立；在D中，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不一定成立．
【解答】解：在A中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，∴CD与EF相交，
∴CD与平面ABFE相交，故A错误；
在B中，∵四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，
∴DE与EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误；
在C中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，CF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正确；
在D中，∵四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，
∴BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不一定成立，故D错误．
故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．【分析】利用三角形中大角对大边可得a＜c，再利用特殊值判断可得结论．
【解答】解：∵△ABC中，A＜B＜C，利用大角对大边，可得a＜c．
不妨C为钝角，则B是锐角，cosB＞0，cosC＜0，
所以cosB＜cosC不成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形中大角对大边，特殊值判断法的应用，属于基础题．
8．【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．
【解答】解：若△BCD为边长为x的等边三角形，可得
＝解得x＝＜2，
满足AC＞CD，则A成立；
cos∠CDA＝＜＝cos60°，
且0°＜∠CDA＜180°，
可得∠CDA＞B，
AB上存在点D，则B成立；
，可得＝＝，
可得sin∠BCD＝，即有∠BCD＝45°＜∠BCA＝75°，
则C成立；
若CD＝1，在△ACD中可得＝，
可得sin∠ADC＝＝＞1，∠ADC不存在，
则D不成立．
故选：D．

【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9．【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°＝cos30°，从而得到结果．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，
cos215°﹣sin215°＝cos30°＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
10．【分析】由题意利用二倍角的正切公式，求得tanα的值．
【解答】解：∵已知，则tanα＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
11．【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积．
【解答】解：正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长，
所以球的直径为：＝，
所以球的表面积为：4π（ ）2＝6π．
故答案为：6π．
【点评】本题是基础题，考查球的内接体的特征与球的关系，考查计算能力、空间想象能力．
12．【分析】利用余弦定理列方程求得c的值，再验证c的值是否满足题意即可．
【解答】解：△ABC中，A＝60°，，b＝3，
则a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴7＝9+c2﹣3c，
解得c＝1或c＝2；
经验证，c＝1或c＝2都满足题意，
∴c的值为1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．
13．【分析】由已知及角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值．
【解答】解：∵锐角α、β满足cosα＝，cos（α+β）＝，
∴sinα＝＝，
∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14．【分析】连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，旋转后三棱锥D1﹣DC1A1与其自身重合，即等边三角形A1DC1 旋转后与自身重合，也就是A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长求出体对角线长，再求出三角形A1DC1 的外接圆的半径，由圆锥体积公式求解．
【解答】解：如图，连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，
可得正方体体对角线BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，
若是旋转后三棱锥D1﹣DC1A1与其自身重合，
则等边三角形A1DC1 旋转后与自身重合，即A1旋转到D，此时θ的最小值是；
由正方体棱长为，可得，
则D1 到平面A1DC1 的高为，
等边三角形A1DC1 的边长为2，则外接圆的半径为2，
∴三棱锥D1﹣DC1A1在此旋转过程中所成几何体为圆锥，其体积为．
故答案为：；．

【点评】本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，可得该函数的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1
＝2sinxcosx﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的最小正周期为＝π；
（Ⅱ）在区间上，2x+∈[0，π]，故当2x+＝时，f（x）取得最大值为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最小正周期、定义域和值域，属于基础题．
16．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得AC＝AD•sin∠ADC，在△BCD中，由∠BCD＝90°．可得BC＝BD•sin∠BDC，由∠BDC+∠ADC＝π，BD＝2AD，即可代入证明．
（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝135°，BC＝AC，由余弦定理即可解得BC的值．
【解答】（本题满分为11分）
解：（Ⅰ）在△ACD中，∠ACD＝45°，
由正弦定理可得：＝，…2分
可得：AC＝＝＝AD•sin∠ADC，…3分
在△BCD中，∠BCD＝90°．
则BC＝BD•sin∠BDC，…6分
由于：∠BDC+∠ADC＝π，BD＝2AD，
所以：BC＝BD•sin∠BDC＝2AD•sin∠ADC＝AC，…7分
即：BC＝AC．
（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝135°，BC＝AC，
由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，…9分
即：5＝AC2+（AC）2﹣2AC×（﹣）＝5AC2，…10分
因为AC＞0，
所以：AC＝1，BC＝…11分
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
17．【分析】（Ⅰ）法一：取BC中点M，连结FM、BM推导出四边形FMBE是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面B1BCC1．
法二：取CD中点M，连结FM、EM，推导出EM∥CB，从而平面EFM∥平面B1BCC1，由此能证明EF∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）推导出AC⊥平面B1BCC1，从而AC⊥BM，由此能证明EF⊥AC．
（Ⅲ）假设存在点P，使得AC⊥平面C1D1G，假设AC⊥C1D1，推导出AC⊥C1D1，与已知矛盾，从而在线段EF上不存在点G，使得AC⊥平面C1D1G．
【解答】证明：（Ⅰ）解法一：取BC中点M，连结FM、BM，
在△CC1D中，∵F，M分别为C1D、C1C中点，∴FM∥CD，FM＝CD，
在平行四边形ABCD中，∴CD∥AB，E为AB中点，
∴FM∥EB，FM＝，
在平行四边形ABCD中，∵CD∥AB，E为AB中点，
∴FM∥EB，FM＝EB，
∴四边形FMBE是平行四边形，∴EF∥BM，
∵BM⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，
∴EF∥平面B1BCC1．
解法二：取CD中点M，连结FM、EM，
在△CC1D中，∵F，M分别是C1D，CD中点，
∴EM∥CB，
又∵EM∩FM＝M，EM，FE⊂平面EFM，CC1，CB⊂平面B1BCC1，
∴平面EFM∥平面B1BCC1，
又∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）∵平面B1BCC1⊥平面ABCD，面B1BCC1∩平面ABCD＝BC，
AC⊥BC，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面B1BCC1，
∵BM⊂平面B1BCC1，∴AC⊥BM，
又∵EF∥BM，∴EF⊥AC．
解：（Ⅲ）在线段EF上不存在点P，使得AC⊥平面C1D1G．
假设存在点P，使得AC⊥平面C1D1G，
∵C1D1⊂平面C1D1G，∴AC⊥C1D1，
与已知AC与C1D1不垂直矛盾，
∴在线段EF上不存在点G，使得AC⊥平面C1D1G．


【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．【分析】（Ⅰ）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；
（Ⅱ）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；
（Ⅲ）根据的表达式，直接进行判断最值即可．
【解答】解：（I ）因为正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝SB＝1，∠ASB＝α，
所以f（α）＝4S△SAB+S底ABCD＝4×SA•SBsin∠ASB+AB2
＝2sinα+SA2+SB2﹣2SA•SB﹣cos∠ASB
＝2sinα+2﹣2cosα，其中α∈（0，），
（Ⅱ）设正方形ABCD的中心为O，则OA2＝AB2＝（2﹣2cosα）＝1﹣cosα，
则在Rt△SOA中，SO2＝SA2﹣OA2＝cosα，
则g（α）＝S正方形ABCD•SO＝（2﹣2cosα），
则＝•＝，
则（）2＝＝•＝，
则＝，（0＜α＜）
（Ⅲ）有最大值，无最小值．
【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数的化简，利用三角函数的关系式进行转化是解决本题的关键．