第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷 2023-2024学年沪科版八年级数学上册

第15章　轴对称图形与等腰三角形

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)　　　 　　　　　　　　　　

1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会,每四年举办一届.第24届奥运会于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的部分图案,其中是轴对称图形的是              (　　)

　A　　　　 B　　　　　　C　　　　　D

2.已知点P(3,a)关于x轴的对称点为Q(b,-2),那么点(a,b)为 (　　)

A.(2,-3)   B.(2,3)    C.(3,2)   D.(3,-2)

3.到三角形三边的距离相等的点是三角形 (　　)

A.三条中线的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条高线的交点

D.三边的垂直平分线的交点

4.如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,且PD⊥OB,垂足为点D,若PD=3 cm,则点P到OA的距离d满足              (　　)

A.d<3 cm B.d>3 cm  C.d=3 cm D.无法确定

5.已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于 (　　)

A.15  B.12或15    C.15或18    D.12

6.如图,等边三角形ABC中,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD,则下列结论错误的是              (　　)

A.∠CED=30° B.∠BDE=120°  C.DE=BD   D.DE=AB

(第6题)                   (第7题)

7.如图,△ABC的周长为30,把△ABC的边AC对折,使点C与点A重合,折痕为DE,若AE=4,则△ABD的周长是              (　　)

A.22 B.20 C.18 D.15

8.如图,△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E,过D作DF⊥BC于点F,DF=5 cm,∠EDB=15°,则DE=              (　　)

A.12.5 cm  B.5 cm C.7.5 cm D.10 cm

(第8题)　           (第9题)

9.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有              (　　)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

10.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,若D为AC边上一点,连接PD,∠PDC=∠PBC,DA=DP,则∠A的度数为              (　　)

A.36°  B.30°  C.32°  D.20°

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)

11.如图,小明用一把直尺压住射线OB,另一把同样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,连接OP,此时射线OP就是∠BOA的平分线.小明得到这一结论的依据是　　　　　　　　　　　　　. 

(第11题)              (第12题)

12.如图,在△ABC中,∠BAC>∠C,∠C=40°,点D在线段AC的垂直平分线上,则∠ADB=　　　　. 

13.如图,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线,AB=AC,

∠CAD=20°,则∠ABE=　　　　. 

(第13题)              (第14题)

14.如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为　　　　. 

15.在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换,若原来点A的坐标是(a,b),则第2 022次变换后,点A所对应的坐标是　　　　　. 

　…

16.如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N.

(1)若AB=12 cm,则△MCN的周长为　　　　; 

(2)若∠ACB=118°,则∠MCN=　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,满分52分)

17.(7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1,求∠B的度数.

18.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.

(2)将△ABC向右平移6个单位,画出平移后的△A2B2C2.

(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条直线.

19.(8分)如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.

(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线.

(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.

20.(8分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.

(1)求证:△CEF是等腰三角形;

(2)若CD=3,求DF的长.

21. (10分)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点G是BC边的中点,DG⊥BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.

(1)求证:BE=CF.

(2)若AB=8,AC=4,求AE的长.

22.(11分)数学课上,学习了角平分线后,王老师给同学们出了如下题目:已知MN⊥PQ,垂足为点O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动,连接AB.

(1)如图(1),AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,点A,B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若变化,请说明变化的情况;若不变化,请求出∠AEB的大小.

(2)如图(2),点F是∠BAP和∠ABM的平分线的交点,点A,B在运动的过程中,∠F的大小是否会发生变化?若变化,请说明变化的情况;若不变,请求出∠F的大小.

(3)如图(3),点F是平面内一点,连接AF,BF,将∠F沿直线CD翻折,点F与点E重合,已知AB不平行于CD,请直接写出∠E,∠BCE,∠ADE之间存在的数量关系.

　　　　　　                 图(1)　　　　　　图(2)

图(3)

第15章　轴对称图形与等腰三角形

1.D　2.B　3.B　4.C　 5.A　6.D　7.A　8.D　9.C　10. A　

11.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

12.80°　

13.35°　

15.(-a,-b)　

16.(1)12 cm　(2)56°

17.∵DE是AB的垂直平分线,

∴∠EAB=∠ABE.  (2分)

设∠EAB=x,则∠CAE=4x,∠ABE=x. (4分)

∵∠ACB=90°,

∴∠ABE+∠CAE+∠EAB=90°,

即x+4x+x=90°, 解得x=15°,∴∠B=15°.  (7分)

18.(1)如图,△A1B1C1为所求. (3分)

(2)如图,△A2B2C2为所求. (6分)

(3)△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x=3对称,所画直线如图所示. (8分)

19.(1)证明:∵∠A=∠ABE,

∴EA=EB. (2分)

∵AD=DB,

∴DF是线段AB的垂直平分线. (4分)

(2)∵∠A=46°,∴∠ABE=∠A=46°.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°,  (6分)

∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°.

在△DBF中,∠FDB=90°,

∴∠F=90°-∠ABC=23°. (8分)

20.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠ACB=60°.

∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.  (2分)

∵EF⊥ED,∴∠DEF=90°,

∴∠F=30°,∴∠FEC=∠ACB-∠F=30°,

∴CE=CF,∴△CEF为等腰三角形.  (5分)

(2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,CE=CF,∴CE=DC=3,∴CF=3,

∴DF=DC+CF=3+3=6.  (8分)

(1)证明:如图,连接DB,DC. (1分)

∵点G是BC边的中点,DG⊥BC,

∴DB=DC.

∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF. (5分)

(2)∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠EAD=∠FAD.

又∠AED=∠AFD=90°,DE=DF,

∴△ADE≌△ADF,∴AE=AF, (7分)

∴AB-BE=AC+CF,

即8-BE=4+BE.解得BE=2,

∴AE=AB-BE=8-2=6.  (10分)

22.(1)∠AEB的大小不变,为135°.(1分)

∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°.

∵AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,

∴∠EAB=∠OAB,∠EBA=∠OBA,

∴∠EAB+∠EBA=(∠OAB+∠OBA)=45°,

∴∠AEB=180°-45°=135°.  (4分)

(2)∠F的大小不变.  (5分)

∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,

∴∠BAP+∠ABM=270°.

∵AF,BF分别是∠BAP和∠ABM的平分线,

∴∠FAB=∠PAB,∠FBA=∠MBA,

∴∠FAB+∠FBA=(∠PAB+∠MBA)=135°,

∴∠F=180°-135°=45°.  (8分)

(3)∠ADE+∠BCE=2∠E.  (11分)