专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题03  二次函数与面积有关的问题（知识解读）

【专题说明】

二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是 在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。 同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】

类型一：面积等量关系

类型二：面积平分

方法一：利用割补

将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）

方法二： 铅锤法

（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽；

（2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C；

（3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标；

（4）根据 C、D 坐标求得铅垂高

（5）

方法三 ：其他面积方法

如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图2，同底三角形的面积比等于高的比．

如图3，同高三角形的面积比等于底的比．

      如图1              如图2              如图3

【典例分析】

【类型一：面积等量关系】

【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；

【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；

（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），

设点P（m，m2﹣3m﹣4），

则，，

∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，

∴S△BCE＝S△BPE，

∴，

解得：m1＝3，m2＝0（舍去），

∴P（3，﹣4）；

方法二：∵S1＝S2，

∴S△PBE＝S△CBE，

∴PC∥x轴，

∴点P与C关于对称轴x＝对称，

∴P（3，﹣4）；

【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求a，c的值；

（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；

（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：

解得：；

（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴AB的解析式为：y＝2x+4，

设直线DE的解析式为：y＝mx，

∴2x+4＝mx，

∴x＝，

当x＝3时，y＝3m，

∴E（3，3m），

∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，

∴•3•（﹣3m）＝•4•，

∴9m2﹣18m﹣16＝0，

∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，

∴m1＝﹣，m2＝（舍），

∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；

【类型二：面积平分】

【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线AD的函数表达式；

（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；

【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；

②由①得y＝x2﹣x﹣3，

当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，

解得：，

∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；

（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，

∵S1＝2S2，即＝2，

∴＝2，

∴＝，

∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，

∴EM∥FN，

∴△BFN∽△BEM，

∴＝＝＝，

∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），

∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，

∴F（2+t，t2﹣t﹣2），

∵点F在直线AD上，

∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，

解得：t1＝0，t2＝2，

∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；

【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，

则，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝x+2．

设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，

∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2

∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，

∵DE⊥AC，DH⊥AB，

∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，

∵∠DGE＝∠AGH，

∴∠EDG＝∠CAO，

∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，

∴，

∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，

∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．

此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，

即点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，

又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，

则BE：AE＝1：5或5：1

则AE＝5或1，

即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），

将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，

解得：n＝﹣2或，

故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，

联立方程组或，

解得：x＝6或﹣，

故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．

【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）

【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，

故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，

函数的对称轴为：x＝1；

（2）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，

又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，

则BE：AE＝3：5或5：3，

则AE＝或，

即：点E的坐标为（，0）或（，0），

将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，

解得：k＝﹣6或﹣2，

故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②

联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），

故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．

【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；

【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6  （2）P（，）

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，

∴C（0，6），

设直线BC的解析式为y＝kx+n，

∴，

∴，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，

设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），

∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，

∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，

∴PD：DE＝1：2，

∴PE：DE＝3：2，

∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），

解得，m2＝6（舍去），

∴P（，）；