（冲刺满分）专题07 挑战圆综合应用压轴（六大类型）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题07   挑战圆综合应用压轴（六大类型）

【类型一 全等三角形有关问题】

1．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：△ABD≌△ACD；

（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

2．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．

（1）求证：△CBA≌△DAB；

（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

3．（2022•永州）如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC＝∠ACD．

（1）求证：∠MBC＝∠BAC；

（2）求证：AE＝AD；

（3）若△OFC的面积S1＝4，求四边形AOCD的面积S．

4．（2020秋•平舆县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点 E．

（1）求证：△CDE≌△CBE；

（2）若AB＝6，填空：

①当的长度是　　时，△OBE是等腰三角形；

②当BC＝　　时，四边形OADC为菱形．

5．（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．

（1）如图1，若α＝60°，

①直接写出的值为　 　；

②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为　  　；

（2）如图2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的长．

6．（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；

（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．

【类型二 与相似三角形有关问题】

7．（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．

①求证：△ABD∽△DBE；

②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．

8．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．

（1）求证：DP∥BC；

（2）求证：△ABD∽△DCP；

（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

9．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P

（1）求证：PC＝PG；

（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

10．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．

（1）求证：直线CF是⊙O的切线；

（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．

①求证：△ACD∽△OBE；

②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．

【类型三 与锐角三角函数有关问题】

11．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；

（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．

12．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若＝，求cos∠ABD的值．

13．（2021•甘肃）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

14．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．

15．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．

16．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．

（1）求证：CG＝DG；

（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．

【类型四 与弧、阴影面积计算有关问题】

17．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．

（1）求证：AD为⊙O的切线；

（2）若OB＝2，求弧CD的长．

18．（2021•丽水）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．

（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；

（2）若DE＝3，AE＝，求的长．

19．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．

（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．

①求∠APO′的度数．

②求AP的长．

（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．

20．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．

①求的长；

②求AD的长．

21．（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

22．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

23．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．

（1）求证：∠D＝∠E；

（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．

24．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．

（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【类型五  与特殊四边形有关的问题】

25．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．

26．（2019•南充模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，经过点B，D的圆与BC交于点E．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）若四边形ODEB是菱形，时，求⊙O的半径．

27．（2022•大冶市校级模拟）如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；

（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．

28．（2022•蜀山区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．

（1）若AB＝8，⊙O的半径为3，求AC的长．

（2）过点E作弦EF⊥AB于G，连接AF，若∠AFE＝2∠ABC．求证：四边形ACEF是菱形．

29．（2018•盘锦）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B＝∠BAE＝30°．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若AC＝3，求⊙O的半径r；

（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．

30．（2020•新野县二模）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF＝8，，求⊙O的半径；

（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，请直接写出四边形AHBG的形状．

【类型六 圆中探究形问题】

31．（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．

（1）若⊙O的半径为5，求CG的长；

（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

32．（2022•北海一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．

（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；

（2）求证：∠BAC＝∠CEF；

（3）是否存在点D，使得△CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

33．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．

思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；

探究：如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．

（1）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；

（2）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．

34．（2020•英德市一模）如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．

（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为　  　；

（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；

（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．