高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 二倍角公式测试题

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1．sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
2．已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
3．已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，则cs 2α的值为( )
A．±eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(7),4)
C．－eq \f(\r(7),4) D．－eq \f(3,4)
4．[多选题]下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°cs 15° B．cs215°－sin215°
C．1－2sin215° D.eq \f(3tan 15°,1－tan215°)
5.eq \f(1,1－tan θ)＋eq \f(1,1＋tan θ)＝________.
6．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝________.
[提能力]
7.eq \r(1＋cs 100°)－eq \r(1－cs 100°)＝( )
A．－2cs 5° B．2cs 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
8．若2cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则sin 2α＝________.
9．证明：eq \f(1＋sin 2θ－cs 2θ,1＋sin 2θ＋cs 2θ)＝tan θ.
[战疑难]
10．化简： eq \r(2－\r(2＋\r(2＋2cs α)))(3π<α<4π)．
课时作业32 二倍角公式
1．解析：sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
答案：B
2．解析：因为sin α＝3cs α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4).
答案：D
3．解析：因为sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，α∈(0，π)，
所以1＋2sin αcs α＝eq \f(1,4)，
所以sin 2α＝－eq \f(3,4)，且sin α>0，cs α<0，
所以cs α－sin α＝－eq \r(1－2sin αcs α)＝－eq \f(\r(7),2)，
所以cs 2α＝(cs α－sin α)(cs α＋sin α)＝－eq \f(\r(7),4).故选C.
答案：C
4．解析：A中，2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)，A不符合；B中，cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，B符合；C中，1－2sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，C符合；D中，eq \f(3tan 15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)·eq \f(2tan 15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)·tan 30°＝eq \f(\r(3),2)，符合．故选B、C、D.
答案：BCD
5．解析：原式＝eq \f(1＋tan θ－1－tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝tan 2θ.
答案：tan 2θ
6．解析：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝－eq \f(7,9).
答案：－eq \f(7,9)
7．解析：原式＝eq \r(1＋2cs250°－1)－eq \r(1－1－2sin250°)
＝eq \r(2cs250°)－eq \r(2sin250°)
＝eq \r(2)(cs 50°－sin 50°)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs 50°－\f(\r(2),2)sin 50°))＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.
答案：C
8．解析：由2cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，即4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))≠0，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,4)，所以sin 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝－eq \f(7,8).
答案：－eq \f(7,8)
9．证明：证法一 左边＝eq \f(sin 2θ＋1－cs 2θ,sin 2θ＋1＋cs 2θ)
＝eq \f(2sin θcs θ＋1＋1－2cs2θ,2sin θcs θ＋1＋2cs2θ－1)
＝eq \f(sin θcs θ＋1－cs2θ,sin θcs θ＋cs2 θ)＝eq \f(sin θcs θ＋sin2θ,sin θcs θ＋cs2θ)
＝eq \f(sin θcs θ＋sin θ,cs θsin θ＋cs θ)＝tan θ＝右边．
∴原式成立．
证法二：左边＝eq \f(sin2θ＋cs2θ＋sin 2θ＋sin2θ－cs2θ,sin2θ＋cs2θ＋sin 2θ＋cs2θ－sin2θ)
＝eq \f(sin 2θ＋2sin2θ,sin 2θ＋2cs2θ)＝eq \f(2sin θsin θ＋cs θ,2cs θsin θ＋cs θ)
＝tan θ＝右边．
∴原式成立．
证法三：左边＝eq \f(1＋sin 2θ－cs 2θ,1＋sin 2θ＋cs 2θ)
＝eq \f(sin2θ＋cs2θ＋2sin θ·cs θ－cs2θ－sin2θ,sin2θ＋cs2θ＋2sin θ·cs θ＋cs2θ－sin2θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ2－cs θ＋sin θcs θ－sin θ,sin θ＋cs θ2＋cs θ＋sin θcs θ－sin θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θsin θ＋cs θ＋sin θ－cs θ,sin θ＋cs θsin θ＋cs θ＋cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ＝右边．
∴原式成立．
10．解析：因为3π<α<4π，
所以eq \f(3π,2)则cseq \f(α,2)>0，cseq \f(α,4)<0，cseq \f(α,8)>0.
所以原式＝ eq \r(2－ \r(2＋ \r(4cs2\f(α,2))))＝ eq \r(2－ \r(2＋2cs\f(α,2)))＝ eq \r(2－ \r(4cs2\f(α,4)))＝ eq \r(2＋2cs\f(α,4))＝ eq \r(4cs2\f(α,8))＝2cseq \f(α,8).