数学人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义第1课时导学案

5．1.2　导数的概念及其几何意义

第1课时　导数的概念

(教师独具内容)

课程标准：1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画实际的变化的过程.2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数.3.体会导数的思想及其内涵，并能运用．

教学重点：理解导数的概念．

教学难点：理解导数与瞬时变化率的关系.

知识点一　函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率

我们把比值，即＝，叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

知识点二　y＝f(x)在x＝x0处的导数

如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .

1．函数的平均变化率的理解

定义中的x0，x0＋Δx是指其定义域内不同的两个数，记Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，＝称作函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：

(1)函数f(x)在x0，x0＋Δx处有意义；

(2)x0＋Δx是x0附近的任意一点，Δx可正可负，但不能为0；

(3)注意变量的对应，Δx＝x0＋Δx－x0，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，而不是Δy＝f(x0)－f(x0＋Δx)；

(4)平均变化率可正可负，也可为零．

2．对导数概念的理解

某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义：

(1) 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；

(2)  不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．

注意：令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝

limx→x0 与定义中的f′(x0)＝

 意义相同．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)

(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)函数在某一点的导数是(　　)

A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

(2)在曲线y＝x2的图象上取一点(1,1)及其附近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则为________，瞬时变化率为________.

(3)函数y＝f(x)＝在x＝－1处的导数可表示为________.

答案　(1)C　(2)Δx＋2　2  　(3)f′(－1)或y′|x＝－1

题型一　求函数的平均变化率

例1　已知函数f(x)＝x2，

(1)计算函数f(x)从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；

(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

[解]　(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，

所以＝＝Δx＋2.

①当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4.

②当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3.

③当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1.

④当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01.

(2)当Δx越来越小时，

由(1)＝＝Δx＋2得，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.

求平均变化率可根据定义将相应量代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：

[跟踪训练1]　比较函数f(x)＝2x与g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的大小．

解　f(x)＝2x在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为

＝2a－2a－1＝2a－1；

g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为

＝＝.

∵a<0，∴a－1<－1，∴2a－1<2－1＝，

∴f(x)＝2x在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率比g(x)＝x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率小．

题型二　求函数f(x)在某点处的导数

例2　利用导数定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．

[解]　f′(1)＝ ＝

＝

＝ ＝.

导数定义的探究

(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率当Δx→0时的极限是否存在．

(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值＝，再求极限f′(x)＝y′＝ .

(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种．

(4)导数定义 ＝f′(x0)，也即limx→x0 ＝f′(x0)．

[跟踪训练2]　(1)求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数；

(2)若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．

解　(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，

∴＝＝2Δx＋16.

∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.

(2)∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c

＝a(Δx)2＋2aΔx.

∴f′(1)＝  ＝

＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，

∴a＝1.

1．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)

A．Δx＋2  B．Δx＋3

C．2Δx＋(Δx)2  D．3Δx＋(Δx)2

答案　B

解析　由Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以＝＝Δx＋3.故选B．

2．函数f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数值为(　　)

A．8＋4Δx  B．8＋2Δx

C．4  D．8

答案　D

解析　由已知得，＝＝＝＝2Δx＋8，当Δx趋近于0时，2Δx＋8趋近于8，所以f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数值为8.故选D．

3．已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)

A．±2  B．2

C．－2  D．－4

答案　A

解析　由于f′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.

4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.

答案　－

解析　f′(1)＝ ＝

＝ ＝－.

5．已知函数y＝－， 求函数在x＝4处的导数．

解　f′(4)＝

＝

＝

＝

＝ ＝－.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)

A．0.40  B．0.41

C．0.43  D．0.44

答案　B

解析　∵x0＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.

2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

答案　B

解析　＝＝＝－1.

3．若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(　　)

A．圆  B．抛物线

C．椭圆  D．直线

答案　D

解析　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为一常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线．故选D．

4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)

A．f(x)＝a  B．f(x)＝b

C．f′(x0)＝a  D．f′(x0)＝b

答案　C

解析　∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，

∴＝a＋bΔx.

∴f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.故选C．

5．已知函数f(x)＝则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．6

答案　D

解析　f(1)＝4，f′(1)＝

＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.

二、填空题

6．函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值为________.

答案　0

解析　 ＝

＝ (Δx)2＝0.

7．已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝________.

答案　－1

解析　f′(x0)＝

＝

＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.

8．设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t＝________.

答案　±2

解析　因为f′(1)＝ ＝t2＝4，所以t＝±2. 

三、解答题

9．求函数y＝ 在x0(x0>－1)处的导数．

解　令f(x)＝，

则f′(x0)＝

＝

＝

＝ ＝.

10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义．

解　根据导数的定义，得

f′(100)＝

＝

＝

＝

＝

＝＋

＝0.105.

f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元．

B级：“四能”提升训练

1．设函数y＝f(x)的导数为y＝f′(x)，若f′(x0)＝－2，则 的值为(　　)

A．1  B．－1

C．  D．－

答案　C

解析　

＝

＝－f′(x0)＝.故选C．

2．试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大．

解　当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为

k1＝＝.

当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为

k2＝＝.

由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．

当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.

当Δx＜0时，k1－k2＝－

＝＝.

∵Δx＜0，

∴Δx－＜－，

∴sin＜－，

∴sin＜－1，sin＋1＜0，

∴k1－k2＞0，即k1＞k2.

综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．