人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算导学案

5．2.3　简单复合函数的导数

(教师独具内容)

课程标准：理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，能求简单复合函数的导数．

教学重点：复合函数的求导．

教学难点：分清函数的复合关系，选好中间变量.

知识点一　复合函数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数(composite function)，记作y＝f(g(x)).

知识点二　复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

复合函数求导

对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：

(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．

(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.

(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cosu＝2cos.

(4)复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝ln x＋ex＋x3＋是复合函数．(　　)

(2)函数y＝sin23x可以看作函数y＝u2，u＝sint和t＝3x的复合函数．(　　)

(3)函数y＝ln 的导数为y′＝x.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)下列结论中正确的是(　　)

A．若y＝cos，则y′＝－sin

B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2

C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x

D．若y＝xsin2x，则y′＝cos2x

(2)已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能是(　　)

A．y＝ln   B．y＝ln

C．y＝ln (1－x)  D．y＝ln

(3)函数y＝sin2xcos3x的导数是________.

(4)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.

答案　(1)B　(2)A　(3)2cos2xcos3x－3sin2xsin3x　(4)1

题型一　简单复合函数求导问题

例1　求下列函数的导数：

(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；

(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝.

[解]　(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，

∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.

(2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，

∴yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝.

(3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)．

(4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝.

1．复合函数求导的步骤

2．求复合函数的导数需处理好的几个环节

(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；

(2)中间变量的选择应是基本函数结构；

(3)关键是正确分析函数的复合层次；

(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；

(5)善于把一部分表达式作为一个整体；

(6)最后要把中间变量换成自变量的函数．

[跟踪训练1]　求下列函数的导数：

(1)y＝e2x；(2)y＝sin；(3)y＝5log2(2x＋1)；(4)y＝.

解　(1)设u＝2x，则y＝eu，

所以y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x.

(2)设y＝sinu，u＝2x＋，

则y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cos.

(3)设y＝5log2u，u＝2x＋1，

则y′＝5(log2u)′u(2x＋1)′x＝＝.

(4)设u＝－3x－1，则y＝u－，

所以y′x＝y′u·u′x＝－u－·(－3)＝(－3x－1) －

＝.

题型二　较为复杂函数的求导

例2　求下列函数的导数：

(1)y＝xe5x＋2；(2)y＝xcossin.

[解]　(1)y′＝x′e5x＋2＋x(e5x＋2)′

＝e5x＋2＋xe5x＋2·5＝(5x＋1)e5x＋2.

(2)∵y＝xcossin

＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，

∴y′＝′＝－sin4x－cos4x·4

＝－sin4x－2xcos4x.

对于复杂函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量，同时要注意复合函数的复合关系，选好中间变量．

[跟踪训练2]　求下列函数的导数：

(1)f(x)＝sin2x＋e2x；(2)f(x)＝xln (2x＋1)；(3)f(x)＝.

解　(1)因为f(x)＝sin2x＋e2x，

所以f′(x)＝2cos2x＋2e2x.

(2)因为f(x)＝xln (2x＋1)，

所以f′(x)＝ln (2x＋1)＋x·＝ln (2x＋1)＋.

(3)因为f(x)＝，

所以f′(x)＝

＝.

题型三　导数的综合应用

例3　已知曲线y＝cos在点处的切线斜率为k，若|k|<1，求ω的值．

[解]　∵曲线y＝cos过点，

∴cos＝0，

∴ω·＋＝nπ＋(n∈Z)，

∴ω＝2n＋(n∈Z)，

又y′＝－ωsin，

∴k＝y′|x＝＝－sin

＝－sin＝±.

∵|k|<1，

∴|2n＋|<1，

∴ω＝.

高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．

[跟踪训练3]　(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________；

(2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________.

答案　(1)5x＋y－3＝0　(2)

解析　(1)y′＝－5e－5x，曲线在点(0,3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.

(2)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．

∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，

∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．

∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，

即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.

1．下列函数不是复合函数的是(　　)

A．y＝－x3－＋1  B．y＝cos

C．y＝  D．y＝(2x＋3)4

答案　A

解析　A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cosu的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．故选A．

2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)

A．(ex－e－x)  B．(ex＋e－x)

C．ex－e－x  D．ex＋e－x

答案　A

解析　y′＝′＝[(ex)′＋(e－x)′]＝(ex－e－x)．

3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于(　　)

A．0  B．60

C．－1  D．－60

答案　B

解析　f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)，所以f′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.

4．函数y＝xln (2x＋5)的导数为________.

答案　ln (2x＋5)＋

解析　y′＝[xln (2x＋5)]′＝x′ln (2x＋5)＋x[ln (2x＋5)]′＝ln (2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln (2x＋5)＋.

5．求出下列函数的导数：

(1)y＝extanx；(2)y＝ln (4x＋5)3；

(3)y＝x；(4)y＝；

(5)y＝e－x＋2(2x＋1)5.

解　(1)由于y＝extanx，

则y′＝(ex)′tanx＋ex(tanx)′＝extanx＋，

即y′＝extanx＋.

(2)由于y＝ln (4x＋5)3，则y′＝.

(3)由于y＝x＝x3＋1＋x－2，

则y′＝3x2－.

(4)由于y＝，则y′＝.

(5)由于y＝e－x＋2(2x＋1)5，

则y′＝(9－2x)(2x＋1)4e－x＋2.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　)

A．4(3x－2)  B．6x

C．6x(3x－4)  D．6(3x－4)

答案　D

解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．

2．要得到函数f(x)＝sin的导函数f′(x)的图象，只需将f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

B．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)

C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)

D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

答案　D

解析　∵f(x)＝sin，∴f′(x)＝2cos＝2sin＝2sin，∴由函数f(x)的图象得导函数f′(x)的图象只需将f(x)的图象向左平移个单位长度，再把各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)即可．

3．设f(x)＝ln ，则f′(2)＝(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　B

解析　∵f(x)＝ln ，令u(x)＝，则f(u)＝ln u，f′(u)＝，u′(x)＝·＝.由复合函数的导数公式得f′(x)＝·＝，∴f′(2)＝.故选B．

4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)

A．ln 2  B．－ln 2

C．  D．－

答案　A

解析　对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－ae－x.又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，得x0＝ln 2.故选A．

5．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　)

A．是奇函数  B．是偶函数

C．有最大值  D．有最小值

答案　BCD

解析　∵函数f(x)＝sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝22－，当cosx＝－时，f′(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数．

二、填空题

6．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________.

答案　

解析　y＝ln ＝ln ex－ln (1＋ex)＝x－ln (1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.

7．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________.

答案　2

解析　∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)·(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.

8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.

答案　

解析　f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)

＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.

若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，

即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．

又φ∈(0，π)，∴φ＝.

三、解答题

9．曲线y＝e2xcos3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．

解　由y′＝(e2xcos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)，

得y′|x＝0＝2.

则切线方程为y－1＝2(x－0)，

即2x－y＋1＝0.

若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，

两平行线间的距离d＝＝，得c＝6或c＝－4.

故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.

10．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.

(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；

(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数．

解　(1)x′＝－32e－2t.

当t＝1时，x′＝－.

(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，

y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t.

B级：“四能”提升训练

1．设函数f(x)，且f(ex)＝x＋e2x，f′(x)的最小值为________.

答案　2

解析　∵f(ex)＝x＋e2x，∴f(ex)＝ln ex＋(ex)2，

∴f(x)＝ln x＋x2，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝＋2x≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴f′(x)的最小值为2.

2．(1)求函数f(x)＝cos2(ax＋b)的导函数；

(2)证明：若函数f(x)可导且为周期函数，则f′(x)也为周期函数．

解　(1)由f(x)＝cos2(ax＋b)＝＋cos(2ax＋2b)，得f′(x)＝－sin(2ax＋2b)·2a＝－asin(2ax＋2b)．

(2)证明：设f(x)的周期为T，则f(x)＝f(x＋T)．

∴f′(x)＝[f(x＋T)]′＝f′(x＋T)·(x＋T)′＝f′(x＋T)，

即f′(x)为周期函数且周期与f(x)的周期相同．