选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案及答案

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5．3.1　函数的单调性
(教师独具内容)
课程标准：1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
教学重点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性．
教学难点：根据函数的单调性求参数的取值范围.




知识点一　函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，则f(x)在该区间仍为增函数．
在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)0或f′(x)0(或f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．
(2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________.
(3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________.
答案　(1)上升　(2)a>0，且b2≤3ac　(3)，(1，＋∞)



题型一　求函数的单调区间
例1　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－x3＋3x2；(4)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，所以由f′(x)＝0，
得x＝.
因为当x>时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
因为当03时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；当x