高中数学5.3 导数在研究函数中的应用第2课时导学案及答案

这是一份高中数学5.3 导数在研究函数中的应用第2课时导学案及答案，共18页。
第2课时　函数的最大(小)值
(教师独具内容)
课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
教学重点：在闭区间上求函数的最值．
教学难点：与函数最值有关的参数问题.




知识点一　连续函数的最大值和最小值
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
知识点二　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1．对函数最值的两点说明
(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．
例如：函数f(x)＝，x∈(0,2)，y＝f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f(x)没有最大值和最小值．
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．
例如：函数f(x)＝作图可知f(x)无最小值．
2．函数极值与最值的内在联系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．(　　)
(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．
(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.
(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
答案　(1)无　(2)15　(3)1



题型一　求已知函数的最值
例1　(1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值．
[解]　(1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.
因为f＝，f(1)＝，又f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π，
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.

求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．
[跟踪训练1]　(1)求函数f(x)＝－x3＋3x2－6x＋5在[－1，1]上的最值；
(2)求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值．
解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x－6＝－3(x2－2x＋2)＝－3(x－1)2－3，
∴f′(x)在[－1,1]内恒小于0.
∴f(x)在[－1,1]上为减函数，
∴当x＝－1时，取得最大值为f(－1)＝15；
当x＝1时，取得最小值为f(1)＝1.
即f(x)在[－1,1]上的最小值为1，最大值为15.
(2)∵f′(x)＝3ex－exx2－2exx，
∴f′(x)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)

＋
0
－

f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋30，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)0.
[证明]　当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln (x＋m)≤ln (x＋2)，
故只需证明当m＝2时，f(x)>0.
当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增．
又f′(－1)0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)0，
从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得ex0＝，ln (x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝>0.
综上，当m≤2时，f(x)>0.

本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函数，因此需要进行分离．事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明．应选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增加计算量，此时经验的作用凸显，因为ex≥1＋x，所以找到使1＋x≥ln (m＋x)成立的m是解决本题的关键．
[跟踪训练3]　设f(x)＝x－－2ln x．证明：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．
证明　f(x)＝x－－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
∴f′(x)＝1＋－＝＝≥0，
∴f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)．
∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln 1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立.
题型四　利用函数最值解决不等式恒成立问题
例4　已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1.
令f′(x)0，∴a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝ln x－x－(x>0)，
则h′(x)＝－＋＝－.
令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
↗
极大值
↘
∴当x＝1时，h(x)取得最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，
∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，
则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，
故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．

(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．
(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略
①a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；
②f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min；
③f(x)＞g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min＞0；
④a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max.
[跟踪训练4]　已知函数f(x)＝xln x(x>0)．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．
解　(1)由f(x)＝xln x(x>0)，得f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)>0，得x>；
令f′(x)1，由g′(x)时，方程无解；
当0