新教材2023版高中数学课时作业3弧度概念　弧度与角度的换算北师大版必修第二册

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课时作业3　弧度概念　弧度与角度的换算[练基础]1．1 920°的角化为弧度数为(　　)A.eq \f(16,3) B.eq \f(32,3)C.eq \f(16,3)π D.eq \f(32,3)π2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．把－eq \f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是(　　)A．－eq \f(3,4)π B．－2πC．π D．－π4．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是________． 5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．6．如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．[提能力]7．若一个扇形的半径变为原来的eq \f(1,2)倍，弧长变为原来的eq \f(3,2)倍，则扇形的圆心角变为原来的(　　)A．3倍 B．2倍C.eq \f(1,2)倍 D.eq \f(1,3)倍8．密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad.9．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[战疑难]10．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角为________rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16 cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为________cm.课时作业3　弧度概念　弧度与角度的换算1．解析：∵1°＝eq \f(π,180)rad，∴1 920°＝1 920×eq \f(π,180)rad＝eq \f(32,3)π rad.答案：D2．解析：∵1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，∴α＝－2 rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360°,π)))≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．答案：C3．解析：∵－eq \f(11,4)π＝－2π＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))＝2×(－1)π＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π)).∴θ＝－eq \f(3,4)π.答案：A4．解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝eq \f(π,12)，所以3k＝eq \f(π,4)，4k＝eq \f(π,3)，5k＝eq \f(5π,12).答案：eq \f(π,4)，eq \f(π,3)，eq \f(5π,12)5．解析：135°＝eq \f(135π,180)＝eq \f(3π,4)，所以扇形的半径为eq \f(3π,\f(3π,4))＝4，面积为eq \f(1,2)×3π×4＝6π.答案：4　6π6．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(l＋2R＝8，①,\f(1,2)l·R＝4，②))由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝eq \f(l,R)＝2.过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，又∠BOA＝2 rad，∴∠BOC＝1 rad，∴BC＝OB·sin 1＝2sin 1(cm)，∴AB＝2BC＝4sin 1(cm)．故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm.7．解析：设α1＝eq \f(l,r)，则α2＝eq \f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3eq \f(l,r)＝3α1.答案：A8．解析：∵圆周角等于2π，∴1密位＝eq \f(2π,6 000)＝eq \f(π,3 000)，∴60密位＝eq \f(π,3 000)·60＝eq \f(π,50).答案：eq \f(π,50)9．解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq \f(π,3)，R＝10，∴l＝αR＝eq \f(10π,3)(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10－eq \f(1,2)×10×10×coseq \f(π,6)＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝eq \f(c－2R,R)，∴S扇＝eq \f(1,2)αR2＝eq \f(1,2)·eq \f(c－2R,R)·R2＝eq \f(1,2)(c－2R)R＝－R2＋eq \f(1,2)cR＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(c,4)))2＋eq \f(c2,16).当且仅当R＝eq \f(c,4)，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是eq \f(c2,16).10．解析：设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为ω1、ω2，在转动时，两齿轮转过的齿轮数相等，当小轮转动两周时，转过的齿轮数为18×2＝36，则大齿轮转动的角为eq \f(36,32)×2π＝eq \f(9,4)π(rad)．由题意可知，eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(\f(2π,32),\f(2π,18))＝eq \f(9,16)，∴ω1＝eq \f(9,16)ω2＝eq \f(9,16)×3＝eq \f(27,16)(转/秒)，所以，大轮周上一点每1秒转过的弧长为16×eq \f(27,16)×2π＝54π(cm)．答案：eq \f(9π,4)　54π