高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面向量及运算的坐标表示同步训练题

课时作业22　向量数量积的坐标表示　利用数量积计算长度与角度

 [练基础]

1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．－1　　　　　　　　　B．0

C．1  D．2

2．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝(　　)

A．－6  B．－1

C．1  D．6

4．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.

5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.

6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．

(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；

(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．

[提能力]

7．[多选题]已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是(　　)

A．－2a2  B．－a2

C．－a2  D．－a2

8．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．

9．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)，B(4,1)，C(－6,9)．

(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；

(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．

[战疑难]

10．已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．

课时作业22　向量数量积的坐标表示　

利用数量积计算长度与角度1.解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，

∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.

答案：C

2．解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，

∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.

又|a|＝5，|b|＝13，

∴cos〈a，b〉＝＝.

答案：C

3．解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.

答案：C

4．解析：因为a＝(－4,3)，所以2|a|2＝2×()2＝50.

a·b＝－4×1＋3×2＝2.

所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.

答案：44

5．解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，

设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，

又因为cos α＝，cos  θ＝，

由题意知＝，即＝.

解得m＝2.

答案：2

6．解析：(1)由题意，得a＋b＝(3，－1＋x)．

由a⊥(a＋b)，得a·(a＋b)＝6＋1－x＝0，解得x＝7.

∴b＝(1,7)．∴|b|＝＝5.

(2)a＋2b＝(4,2x－1)＝(4，－7)，故2x－1＝－7，解得x＝－3.

∴b＝(1，－3)．

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.

∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为.

7.解析：建立如图所示的平面直角坐标系．

设P(x，y)，又A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，

则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y) .

所以·(＋)

＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]

＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)

＝2x2＋2y2－2ay

＝2x2＋22－a2≥－a2.

故选BCD.

答案：BCD

8．解析：建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，D.

设F(x0，y0)，则＝，＝(x0，y0)．

∵＝2，∴F.

∴＝，＝(1,0)，

∴·＝.

答案：

9．解析：(1)设D(x，y)．∵A(0,2)，B(4,1)，C(－6,9)，

∴＝(x，y－2)，＝(x－4，y－1)，＝(－10,8)．

由题意知AD⊥BC，则·＝0，

即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①

由∥，得8(x－4)＝－10(y－1)，即4x＋5y－21＝0.②

联立①②，解得x＝，y＝，则＝.

(2)设E(a,0)，则＝(4－a,1)，＝(－6－a,9)．

由∠BEC为钝角，得(4－a)(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3.由与不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠.

故点E的横坐标的取值范围为(－5,3)．

10．解析：方法一：建立如图的平面直角坐标系，易知λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)＋λ3(－1,0)＋λ4(0，－1)＋λ5(1,1)＋λ6(－1,1)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．

所以所求模为.

所以最大值为＝2，λ1－λ3＝λ5－λ6＝2或－2，

λ2－λ4＝2或－2，λ5＋λ6＝0满足要求；最小值为0，λ5－λ6＝2，

λ5＋λ6＝0，λ1－λ3＝－2，λ2－λ4＝0满足要求．

综上，最小值为0，最大值为2.

方法二：以{，}为基，可知λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．

若能使|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0　①，

|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝4，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝2　②，

则所求最小值为0，最大值为2.

当λ5－λ6＝2，λ5＋λ6＝0，λ1－λ3＝－2，λ2＝λ4时，①式成立；

当λ1＝－λ3＝λ5＝－λ6，λ2＝－λ4时，②式成立．

综上，最小值为0，最大值为2.

答案：0　2