北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例课后复习题

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1．在△ABC中，(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
3．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2eq \r(26) m/s
C．4eq \r(6) m/s D．12 m/s
4．若eq \(AB,\s\up6(→))＝3e，eq \(DC,\s\up6(→))＝5e，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状为________．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
6．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
[提能力]
7．[多选题]在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))
B．|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
C．|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
D．|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))×\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|2)
8．在平行四边形ABCD中，∠A＝eq \f(π,3)，边AB，AD的长分别是2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足eq \f(|\(BM,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的取值范围是________．
9．如图，eq \(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，且eq \(BC,\s\up6(→))∥eq \(AD,\s\up6(→)).
(1)求y与x的关系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
[战疑难]
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上的一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标为________．
课时作业26 平面向量在几何、物理中的应用举例
1．解析：由(eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→)))·eq \(AC,\s\up13(→))＝|eq \(AC,\s\up13(→))|2，得(eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→))－eq \(AC,\s\up13(→)))·eq \(AC,\s\up13(→))＝0，
即(eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(CA,\s\up13(→)))·eq \(AC,\s\up13(→))＝0，
∴2eq \(AC,\s\up13(→))·eq \(BA,\s\up13(→))＝0，∴eq \(AC,\s\up13(→))⊥eq \(BA,\s\up13(→))，∴A＝90°，
即△ABC的形状一定是直角三角形．
无法判断△ABC是不是等腰三角形，故选C.
答案：C
2．解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
答案：D
3.
解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝eq \r(102＋22)＝eq \r(104)＝2eq \r(26) (m/s)．
答案：B
4．解析：由eq \(AB,\s\up13(→))＝3e，eq \(DC,\s\up13(→))＝5e，得eq \(AB,\s\up13(→))∥eq \(DC,\s\up13(→))，
eq \(AB,\s\up13(→))≠eq \(DC,\s\up13(→))，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又|eq \(AD,\s\up13(→))|＝|eq \(BC,\s\up13(→))|，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
5．解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(0，eq \r(3))，C(3，eq \r(3))，D(3,0)，eq \(AC,\s\up13(→))＝(3，eq \r(3))，
设eq \(AE,\s\up13(→))＝λeq \(AC,\s\up13(→))，则点E的坐标为(3λ，eq \r(3)λ)，故eq \(BE,\s\up13(→))＝(3λ，eq \r(3)λ－eq \r(3))．因为BE⊥AC，所以eq \(BE,\s\up13(→))·eq \(AC,\s\up13(→))＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq \f(1,4)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).
故eq \(ED,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，则|eq \(ED,\s\up13(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)))2)＝eq \f(\r(21),2)，即ED＝eq \f(\r(21),2).
答案：eq \f(\r(21),2)
6．证明：设eq \(AB,\s\up13(→))＝a，eq \(AC,\s\up13(→))＝b，eq \(AD,\s\up13(→))＝e，eq \(DB,\s\up13(→))＝c，eq \(DC,\s\up13(→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
即a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
因为eq \(BC,\s\up13(→))＝eq \(BD,\s\up13(→))＋eq \(DC,\s\up13(→))＝d－c，所以eq \(AD,\s\up13(→))·eq \(BC,\s\up13(→))＝e·(d－c)＝0，所以eq \(AD,\s\up13(→))⊥eq \(BC,\s\up13(→))，即AD⊥BC.
7．解析：由eq \(AC,\s\up13(→))·eq \(AB,\s\up13(→))＝|eq \(AC,\s\up13(→))||eq \(AB,\s\up13(→))|cs A
＝|eq \(AD,\s\up13(→))||eq \(AB,\s\up13(→))|，得|eq \(AC,\s\up13(→))|2＝eq \(AC,\s\up13(→))·eq \(AB,\s\up13(→))，A正确；
由eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(BC,\s\up13(→))＝|eq \(BA,\s\up13(→))||eq \(BC,\s\up13(→))|cs B＝|eq \(BA,\s\up13(→))||eq \(BD,\s\up13(→))|得
|eq \(BC,\s\up13(→))|2＝eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(BC,\s\up13(→))，B正确；
由eq \(AC,\s\up13(→))·eq \(CD,\s\up13(→))＝|eq \(AC,\s\up13(→))||eq \(CD,\s\up13(→))|cs (π－∠ACD)0，C错误．
由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC
所以|eq \(AC,\s\up13(→))||eq \(BC,\s\up13(→))|＝|eq \(AB,\s\up13(→))||eq \(CD,\s\up13(→))|
由A，B可得：|eq \(CD,\s\up13(→))|2＝eq \f(\(AC,\s\up13(→))·\(AB,\s\up13(→))×\(BA,\s\up13(→))·\(BC,\s\up13(→)),|\(AB,\s\up13(→))|2)，D正确．故选ABD.
答案：ABD
8．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，A(0,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设eq \f(|\(BM,\s\up13(→))|,|\(BC,\s\up13(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up13(→))|,|\(CD,\s\up13(→))|)＝λ，λ∈[0,1]，则
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(λ,2)，\f(\r(3),2)λ))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2λ，\f(\r(3),2)))
∴eq \(AM,\s\up13(→))·eq \(AN,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(λ,2)，\f(\r(3)λ,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2λ，\f(\r(3),2)))
＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6
∵λ∈[0,1]，∴eq \(AM,\s\up13(→))·eq \(AN,\s\up13(→))∈[2,5]．
答案：[2,5]
9．解析：(1)∵eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→))＝(4＋x，y－2)，
∴由eq \(BC,\s\up13(→))∥eq \(AD,\s\up13(→))，得x(y－2)＝y(4＋x)，
即y＝－eq \f(1,2)x.
(2)由题易得，eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BC,\s\up13(→))＝(x＋6，y＋1)，eq \(BD,\s\up13(→))＝eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→))＝(x－2，y－3)．
由eq \(AC,\s\up13(→))⊥eq \(BD,\s\up13(→))可得eq \(AC,\s\up13(→))·eq \(BD,\s\up13(→))＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
又∵y＝－eq \f(1,2)x，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝3.))
∴eq \(AC,\s\up13(→))＝(8,0)，eq \(BD,\s\up13(→))＝(0，－4)或eq \(AC,\s\up13(→))＝(0,4)，eq \(BD,\s\up13(→))＝(－8,0)，
又∵eq \(AC,\s\up13(→))⊥eq \(BD,\s\up13(→))，∴四边形ABCD的面积为eq \f(1,2)·|eq \(AC,\s\up13(→))||eq \(BD,\s\up13(→))|＝eq \f(1,2)×8×4＝16.
10．解析：如图，设A(2,0)，C(2,1)，D(0,1)．连接CD，PC，AC，过点P作PB⊥CD于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧eq \x\t(PA)＝2，所以圆心角∠PCA＝2，所以∠PCB＝2－eq \f(π,2).所以PB＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝－cs 2，CB＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝sin 2.所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cs 2，所以eq \(OP,\s\up13(→))＝(2－sin 2,1－cs 2)．
答案：(2－sin 2,1－cs 2)