新教材2023版高中数学课时作业42空间图形的基本事实4与等角定理北师大版必修第二册

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课时作业42　空间图形的基本事实4与等角定理[练基础]1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是(　　)A．异面　　　　　　　B．相交C．平行 D．异面或相交2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对3.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满足CG＝eq \f(1,2)GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为(　　)A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．梯形4．如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，直线AD1与DC1所成角的大小为(　　)A．120° B．90°C．60° D．30°5．在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．6.长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[提能力]7．[多选题]如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是(　　)A．GH与EF平行 B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．9．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[战疑难]10．已知直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5)C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)课时作业42　空间图形的基本事实4与等角定理1．解析：a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．答案：D2．解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.答案：B3．解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF綊eq \f(1,2)AC，又eq \f(DH,HA)＝eq \f(2,1)，eq \f(DG,GC)＝eq \f(2,1)，所以eq \f(DH,HA)＝eq \f(DG,GC)，所以HG綊eq \f(2,3)AC，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．答案：D4．解析：连接AB1和B1D1，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角即为直线AB1与AD1所成的角，设∠B1AD1＝θ，在等边三角形AB1D1中，∠B1AD1＝60°，即异面直线AD1与DC1所成的角为60°，故选C.答案：C5．解析：如图，连接BD，在△ABD中，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.答案：平行6．证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，∵A1B1∥C1D1，∴EM∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.7．解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故B、C、D正确．答案：BCD8．解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．答案：①②9．解析：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中 ，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△ABC中，BC＝eq \r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，∴BE＝eq \f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，∴EF＝eq \f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10)，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).10．解析：如图，M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，则直线AB1，BC1的夹角即为直线MN和NP的夹角．MN＝eq \f(1,2)AB1＝eq \f(\r(5),2)，NP＝eq \f(1,2)BC1＝eq \f(\r(2),2).取BC的中点Q，则可知△PQM为直角三角形．易知PQ＝1，MQ＝eq \f(1,2)AC.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7，所以AC＝eq \r(7).所以MQ＝eq \f(\r(7),2).在Rt△MQP中，MP＝eq \r(MQ2＋PQ2)＝eq \f(\r(11),2).在△PMN中，cos∠PNM＝eq \f(MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(11),2)))2,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))＝－eq \f(\r(10),5).∵异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴余弦值为eq \f(\r(10),5).故选C.答案：C